В равнобедренном треугольнике ABC (AB = BC) проведены высоты AK, BM, CP.
а) Докажите, что треугольник KMP — равнобедренный.
б) Найдите площадь треугольника ABC, если известно, что площадь треугольника KMP равна 12, а косинус угла ABC равен 0,6.
а) Рассмотрим треугольники APC и CKA: углы PAC и KCA равны как углы при основании равнобедренного треугольника, углы APC и CKA равны (прямые углы), сторона AC — общая. Значит, треугольники APC и CKA равны по гипотенузе и острому углу. Точка M является серединой AC. Отрезки MP и MK равны, как соответствующие элементы (медианы проведенные к гипотенузам) равных треугольников. Значит, треугольник KMP — равнобедренный.
б) Из равенства треугольников APC и CKA следует равенство отрезков AP и CK, а значит и равенство отрезков PB и KB. Тогда треугольники PBK и ABC подобны. Коэффициент подобия равен 
Из подобия треугольников получаем 
Выразим площадь треугольника KMP:
Таким образом, площадь треугольника ABC:
Ответ: б) 50.