СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
Математика профильного уровня
Cайты, меню, вход, новости


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д12 C4 № 521227

Дан правильный шестиугольник ABCDEF. Точка Р — середина стороны AF, точка К — середина стороны АВ.

а) Докажите, что площади четырехугольников DPFE и DPAK равны.

б) Найдите площадь общей части четырехугольников DPAK и DЕAС, если известно, что АВ = 6.

Решение.

а) Имеем:

Далее:

 

поэтому площади равны.

б) Пусть и пересекаются в точке а и в точке Тогда:

 

 

Вычислим Продолжим до пересечения с продолжением в точке Тогда треугольники и равны по стороне и двум углам ( как накрест лежащие при параллельных и ). Значит, По теореме Менелая для треугольника EAF и прямой OPT имеем:

откуда поэтому:

Окончательно:

Ответ:

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 191.
Методы геометрии: Теорема Менелая
Классификатор планиметрии: Правильный шестиугольник, Треугольники