Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Дан правильный шестиугольник ABCDEF. Точка Р — середина стороны AF, точка К — середина стороны АВ.
а) Докажите, что площади четырехугольников DPFE и DPAK равны.
б) Найдите площадь общей части четырехугольников DPAK и DЕAС, если известно, что АВ = 6.
Решение.
Спрятать критерии
а) Имеем:
Далее:
поэтому площади равны.
б) Пусть AE и DP пересекаются в точке O, а CA и DK в точке 
Тогда:
Вычислим 
Продолжим DO до пересечения с продолжением EF в точке 
Тогда треугольники DAP и TFP равны по стороне 
и двум углам (
как накрест лежащие при параллельных AD и FE). Значит, 
По теореме Менелая для треугольника EAF и прямой OPT имеем:
откуда 
поэтому:
Окончательно:
Ответ: 
Методы геометрии: Теорема Менелая
Классификатор планиметрии: Правильный шестиугольник, Треугольники