а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Ука­жи­те корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

В ос­но­ва­нии пи­ра­ми­ды PABC лежит пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник с ка­те­та­ми АС  =  6 и ВС  =  8. Пря­мая РС пер­пен­ди­ку­ляр­на плос­ко­сти АВС. На ребре АВ от­ме­че­на точка К так, что АК : ВК  =  9 : 16.

а)  До­ка­жи­те, что пря­мые РК и АВ пер­пен­ди­ку­ляр­ны.

б)  Най­ди­те от­но­ше­ние ра­ди­у­сов сфер, впи­сан­ных в пи­ра­ми­ды РАСК и РВСК, если из­вест­но, что РС  =  2.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство 

На сто­ро­не АВ тре­уголь­ни­ка АВС от­ме­че­на точка М, от­лич­ная от вер­шин, что МС  =  АС. Точка Р сим­мет­рич­на точке А от­но­си­тель­но пря­мой ВС.

а)  До­ка­жи­те, что около че­ты­рех­уголь­ни­ка ВМСР можно опи­сать окруж­ность.

б)  Най­ди­те длину от­рез­ка МР, если из­вест­но, что АВ  =  6, ВС  =  5, СА  =  3.

Саша и Паша по­ло­жи­ли по 100 тыс. руб. в банк под 10% го­до­вых сро­ком на три года. При этом Паша через год снял n тыс. руб. (n  — целое число), а еще через год снова до­ло­жил n тыс. руб. на свой счет. При каком наи­мень­шем зна­че­нии n через три года раз­ность между сум­ма­ми на счету Саши и Паши ока­жет­ся не менее 3 тыс. руб.

Най­ди­те все а, при каж­дом из ко­то­рых си­сте­ма

имеет ровно три ре­ше­ния.

а)  Можно ли числа 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 раз­бить на две груп­пы с оди­на­ко­вым про­из­ве­де­ни­ем чисел в этих груп­пах?

б)  Можно ли числа 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 14 раз­бить на две груп­пы с оди­на­ко­вым про­из­ве­де­ни­ем чисел в этих груп­пах?

в)  Какое наи­мень­шее ко­ли­че­ство чисел нужно ис­клю­чить из на­бо­ра 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 так, чтобы остав­ши­е­ся числа можно было раз­бить на две груп­пы с оди­на­ко­вым про­из­ве­де­ни­ем чисел в этих груп­пах? При­ве­ди­те при­мер та­ко­го раз­би­е­ния на груп­пы.