Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип Д15 C4 № 527359
i

Че­ты­рех­уголь­ник, один из углов ко­то­ро­го равен арк­ко­си­нус левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка , впи­сан в окруж­ность ра­ди­у­са 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 10 конец ар­гу­мен­та и опи­сан около окруж­но­сти ра­ди­у­са 3.

а)  Най­ди­те пло­щадь че­ты­рех­уголь­ни­ка.

б)  Най­ди­те угол между диа­го­на­ля­ми че­ты­рех­уголь­ни­ка.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Пусть это че­ты­рех­уголь­ник ABCD, при­чем \angle A= арк­ко­си­нус дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби . Тогда ко­си­нус \angle A= дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби , синус \angle A= дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби . По­сколь­ку че­ты­рех­уголь­ник впи­сан­ный, \angle A плюс \angle C=180 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка . Зна­чит, ко­си­нус \angle C= минус дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби , синус \angle C= дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби . Пусть, далее, AB=a, AD=b, DC=b плюс x, тогда, из-за опи­сан­но­сти,

BC=AB плюс CD минус AD=a плюс x

воз­мож­но x мень­ше 0, если на самом деле DC мень­ше AD.

По тео­ре­ме си­ну­сов для тре­уголь­ни­ка ADB по­лу­чим: дробь: чис­ли­тель: DB, зна­ме­на­тель: дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби конец дроби =2 умно­жить на 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 10 конец ар­гу­мен­та , от­ку­да DB= дробь: чис­ли­тель: 16, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 10 конец ар­гу­мен­та . Най­дем двумя спо­со­ба­ми пло­щадь че­ты­рех­уголь­ни­ка ABCD. Во-пер­вых, она равна

p_ABCD умно­жить на r=3 левая круг­лая скоб­ка a плюс b плюс x пра­вая круг­лая скоб­ка .

Во-вто­рых,

S_ABCD=S_ABD плюс S_CBD= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби левая круг­лая скоб­ка AD умно­жить на AB синус \angle A плюс CD умно­жить на CB синус \angle C пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби левая круг­лая скоб­ка ab плюс левая круг­лая скоб­ка a плюс x пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка b плюс x пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка .

Сле­до­ва­тель­но,

дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби левая круг­лая скоб­ка ab плюс левая круг­лая скоб­ка a плюс x пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка b плюс x пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка =3 левая круг­лая скоб­ка a плюс b плюс x пра­вая круг­лая скоб­ка .

Кроме того, за­пи­шем тео­ре­мы ко­си­ну­сов для тре­уголь­ни­ков DAB и DCB. В итоге по­лу­чим си­сте­му трех урав­не­ний с тремя не­из­вест­ны­ми:

левая фи­гур­ная скоб­ка \beginaligned новая стро­ка ab плюс левая круг­лая скоб­ка a плюс x пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка b плюс x пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: 15, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби левая круг­лая скоб­ка a плюс b плюс x пра­вая круг­лая скоб­ка , новая стро­ка a в квад­ра­те плюс b в квад­ра­те минус дробь: чис­ли­тель: 6, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби ab= дробь: чис­ли­тель: 512, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби , новая стро­ка левая круг­лая скоб­ка a плюс x пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те плюс левая круг­лая скоб­ка b плюс x пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те плюс дробь: чис­ли­тель: 6, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби левая круг­лая скоб­ка a плюс x пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка b плюс x пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: 512, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби . \endaligned.

Вы­чи­тая из по­след­не­го урав­не­ния вто­рое, на­хо­дим:

2ax плюс 2bx плюс 2x в квад­ра­те плюс дробь: чис­ли­тель: 6, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби левая круг­лая скоб­ка ab плюс левая круг­лая скоб­ка a плюс x пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка b плюс x пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка =0.

Пре­об­ра­зу­ем, учи­ты­вая пер­вое урав­не­ние:

2x левая круг­лая скоб­ка a плюс b плюс x пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 9 левая круг­лая скоб­ка a плюс b плюс x пра­вая круг­лая скоб­ка =0 рав­но­силь­но левая круг­лая скоб­ка 2x плюс 9 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка a плюс b плюс x пра­вая круг­лая скоб­ка =0.

Ясно что a плюс b плюс x боль­ше 0, по­сколь­ку это по­лу­пе­ри­метр. Зна­чит, x= минус дробь: чис­ли­тель: 9, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби . Те­перь сде­ла­ем за­ме­ну s=a плюс b, p=ab и за­пи­шем пер­вые два урав­не­ния.

левая фи­гур­ная скоб­ка \beginaligned новая стро­ка 2ab плюс левая круг­лая скоб­ка a плюс b пра­вая круг­лая скоб­ка x плюс x в квад­ра­те = дробь: чис­ли­тель: 15, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби левая круг­лая скоб­ка a плюс b плюс x пра­вая круг­лая скоб­ка , новая стро­ка левая круг­лая скоб­ка a плюс b пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те минус дробь: чис­ли­тель: 16, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби ab= дробь: чис­ли­тель: 512, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби ; \endaligned.

 

левая фи­гур­ная скоб­ка \beginaligned новая стро­ка 2p минус дробь: чис­ли­тель: 9, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби s плюс дробь: чис­ли­тель: 81, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 15, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби левая круг­лая скоб­ка s минус дробь: чис­ли­тель: 9, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка , новая стро­ка s в квад­ра­те минус дробь: чис­ли­тель: 16, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби p= дробь: чис­ли­тель: 512, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби \endaligned. рав­но­силь­но левая фи­гур­ная скоб­ка \beginaligned новая стро­ка p=6s минус 27, новая стро­ка 5s в квад­ра­те минус 16p=512. \endaligned.

От­сю­да

5s в квад­ра­те минус 16 левая круг­лая скоб­ка 6s минус 27 пра­вая круг­лая скоб­ка минус 512=0 рав­но­силь­но 5s в квад­ра­те минус 96s минус 80=0 рав­но­силь­но

рав­но­силь­но левая круг­лая скоб­ка s минус 20 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка 5s плюс 4 пра­вая круг­лая скоб­ка =0 рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний s=20,s= минус дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби левая круг­лая скоб­ка не­воз­мож­но пра­вая круг­лая скоб­ка . конец со­во­куп­но­сти .

Итак, s=20, p=6s минус 27=93. Тогда a, b  — корни квад­рат­но­го урав­не­ния t в квад­ра­те минус 20t плюс 93=0, то есть они равны 10\pm ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 7 конец ар­гу­мен­та .

а)  Имеем:

S=3 левая круг­лая скоб­ка a плюс b плюс x пра­вая круг­лая скоб­ка =3 левая круг­лая скоб­ка 20 минус дробь: чис­ли­тель: 9, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка = целая часть: 46, дроб­ная часть: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 .

б)  По тео­ре­ме Пто­ле­мея:

AD умно­жить на BC плюс AB умно­жить на DC=AC умно­жить на BD.

От­сю­да

AC умно­жить на BD=b левая круг­лая скоб­ка a плюс x пра­вая круг­лая скоб­ка плюс a левая круг­лая скоб­ка b плюс x пра­вая круг­лая скоб­ка =2ab плюс левая круг­лая скоб­ка a плюс b пра­вая круг­лая скоб­ка x=2 умно­жить на 93 минус 20 умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 9, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби =96.

C дру­гой сто­ро­ны,

S_ABCD= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на AC умно­жить на BD умно­жить на синус \angle левая круг­лая скоб­ка AC,BD пра­вая круг­лая скоб­ка ,

от­ку­да

синус \angle левая круг­лая скоб­ка AC,BD пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: 93, зна­ме­на­тель: 96 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 31, зна­ме­на­тель: 32 конец дроби .

Ответ: а) целая часть: 46, дроб­ная часть: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 ; б) арк­си­нус дробь: чис­ли­тель: 31, зна­ме­на­тель: 32 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а и обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б.3
По­лу­чен обос­но­ван­ный ответ в пунк­те б.

ИЛИ

Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а и при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки.

2
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а.

ИЛИ

При обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки.

ИЛИ

Обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б и ис­поль­зо­ва­ни­ем утвер­жде­ния пунк­та а, при этом пункт а не вы­пол­нен.

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше.0
Мак­си­маль­ный балл3
Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 254
Методы геометрии: Метод пло­ща­дей
Классификатор планиметрии: Окруж­ность, впи­сан­ная в че­ты­рех­уголь­ник, Окруж­ность, опи­сан­ная во­круг че­ты­рех­уголь­ни­ка, Тре­уголь­ни­ки
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025