СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
≡ математика
сайты - меню - вход - новости


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д12 C4 № 527490

В тре­уголь­ни­ке ABC длина AB равна 3, хорда KN окруж­но­сти, опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка ABC, пе­ре­се­ка­ет от­рез­ки AC и BC в точ­ках M и L со­от­вет­ствен­но. Из­вест­но, что пло­щадь че­ты­рех­уголь­ни­ка ABLM равна 2, а длина LM равна 1.

а) Най­ди­те вы­со­ту тре­уголь­ни­ка KNC, опу­щен­ную из вер­ши­ны C.

б) Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка KNC.

Ре­ше­ние.

Тре­уголь­ни­ки ACB и NCM по­доб­ны по двум углам с ко­эф­фи­ци­ен­том по­это­му

От­сю­да Обо­зна­чим сто­ро­ны тре­уголь­ни­ка Тогда

от­ку­да По тео­ре­ме ко­си­ну­сов для тре­уголь­ни­ка ABC в то же время имеем

от­ку­да по­это­му и Зна­чит, a и b яв­ля­ют­ся кор­ня­ми квад­рат­но­го урав­не­ния (тео­ре­ма Виета), по­это­му они равны Будем счи­тать, что тогда

а) Най­дем вы­со­ту тре­уголь­ни­ка ACB и умень­шим ее втрое. Имеем:

по­это­му ответ

б) Обо­зна­чим Из по­до­бия, кроме того, По свой­ству пе­ре­се­ка­ю­щих­ся хорд имеем и Далее:

и

Скла­ды­вая эти урав­не­ния, по­лу­чим:

Вы­чи­тая, по­лу­чим:

Сле­до­ва­тель­но При­бав­ляя к этому урав­не­нию удво­ен­ное урав­не­ние по­лу­чим:

Зна­чит,

 

Ответ: а) б)

Источник: А. Ларин. Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 264.
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Треугольники