В треугольнике ABC длина AB равна 3, хорда KN окружности, описанной около треугольника ABC, пересекает отрезки AC и BC в точках M и L соответственно. Известно, что
площадь четырехугольника ABLM равна 2, а длина LM равна 1.
а) Найдите высоту треугольника KNC, опущенную из вершины C.
б) Найдите площадь треугольника KNC.
Треугольники ACB и NCM подобны по двум углам с коэффициентом поэтому
Отсюда Обозначим стороны треугольника
Тогда
откуда По теореме косинусов для треугольника ABC в то же время имеем
откуда поэтому
и
Значит, a и b являются корнями квадратного уравнения
(теорема Виета), поэтому они равны
Будем считать, что
тогда
а) Найдем высоту треугольника ACB и уменьшим ее втрое. Имеем:
поэтому ответ
б) Обозначим
Из подобия, кроме того,
По свойству пересекающихся хорд имеем
и
Далее:
и
Складывая эти уравнения, получим:
Вычитая, получим:
Следовательно Прибавляя к этому уравнению удвоенное уравнение
получим:
Значит,
Ответ: а) б)