СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
Математика профильного уровня
Cайты, меню, вход, новости


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д12 C4 № 521098

К окружности, вписанной в квадрат АВСD, проведена касательная, пересекающая стороны АВ и АD в точках М и Р соответственно.

а) Докажите, что периметр треугольника АМР равен стороне квадрата.

б) Прямая МР пересекает прямую СD в точке К. Прямая, проходящая через точку К и центр окружности, пресекает прямую АВ в точке Е. Найдите отношение если

Решение.

а) Пусть прямая касается окружности в точке T, а окружность касается сторон AB и AD в точках Y и X соответственно. Тогда

б) Пусть сторона квадрата равна тогда Пусть тогда по пункту а) По теореме Пифагора

Треугольники и подобны по двум углам с коэффициентом

поэтому Четырёхугольник  — параллелограмм, поскольку его диагонали делятся точкой пересечения пополам, значит Тогда

 

Ответ: б)

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 175.
Классификатор планиметрии: Подобие, Треугольники