Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип Д15 C4 № 505751
i

Пло­щадь тре­уголь­ни­ка ABC равна 10; пло­щадь тре­уголь­ни­ка AHB, где H  — точка пе­ре­се­че­ния высот, равна 8. На пря­мой CH взята такая точка K, что тре­уголь­ник ABK  — пря­мо­уголь­ный.

а)  До­ка­жи­те, что S в квад­ра­те _ABK=S_ABC умно­жить на S_AHB.

б)  Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка ABK.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  За­ме­тим, что \angle KBA не равно 90 гра­ду­сов, \angle KAB не равно 90 гра­ду­сов, по­сколь­ку тогда KB\parallel SC или KA\parallel SC как пер­пен­ди­ку­ля­ры к одной пря­мой. Зна­чит, \angle BKA=90 гра­ду­сов. Обо­зна­чим ос­но­ва­ния высот тре­уголь­ни­ка ABC за A_1, B_1, C_1. Тогда точки K, B, A, A1, B1 лежат на окруж­но­сти с диа­мет­ром AB (из-за пря­мых углов). за­ме­тим, что C_1  — ос­но­ва­ние пер­пен­ди­ку­ля­ра из K на AB.

Пе­ре­пи­шем тре­бу­е­мое утвер­жде­ние:

S_ABK в квад­ра­те =S_ABC умно­жить на S_AHB рав­но­силь­но AB в квад­ра­те умно­жить на KC_1 в квад­ра­те =AB умно­жить на CC_1 умно­жить на AB умно­жить на HC_1 рав­но­силь­но

рав­но­силь­но KC_1 в квад­ра­те =CC_1 умно­жить на HC_1 рав­но­силь­но BC_1 умно­жить на AC_1=CC_1 умно­жить на HC_1 рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: C_1H, зна­ме­на­тель: AC_1 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: BC_1, зна­ме­на­тель: CC_1 конец дроби .

Это верно из-за по­до­бия тре­уголь­ни­ков AHS и CBS по двум углам: дей­стви­тель­но, \angle ASH=\angle CSB=90 гра­ду­сов, \angle AHS=90 гра­ду­сов минус \angle HAS=90 гра­ду­сов минус \angle A_1AB=\angle CBA.

б)  Из пунк­та а) сле­ду­ет, что S_ABK= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 8 умно­жить на 10 конец ар­гу­мен­та =4 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 конец ар­гу­мен­та .

 

Ответ: 4 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 конец ар­гу­мен­та .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а и обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б.3
По­лу­чен обос­но­ван­ный ответ в пунк­те б.

ИЛИ

Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а и при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки.

2
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а.

ИЛИ

При обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки.

ИЛИ

Обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б и ис­поль­зо­ва­ни­ем утвер­жде­ния пунк­та а, при этом пункт а не вы­пол­нен.

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше.0
Мак­си­маль­ный балл3
Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 66
Классификатор планиметрии: По­до­бие, Тре­уголь­ни­ки
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025