В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом C проведена высота CD. Радиусы окружностей, вписанных в треугольники ACD и BCD, равны 0,6 и 0,8.
а) Докажите подобие треугольников ACD и BCD, ACD и ABC.
б) Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник ABC.
а) Пусть в прямоугольном треугольнике ABC проведена высота к гипотенузе CD. Треугольники ACD и ABC подобны по двум углам (
общий, 
) с коэффициентом 
и в таком же отношении находятся их радиусы вписанных окружностей.
По тем же причинам подобны треугольники BCD и ABC (
общий, 
). Значит, и треугольники ACD и BCD подобны.
б) Как следует из первого пункта, в треугольниках ACD, BCD, ABC одинаково отношение гипотенузы к радиусу вписанной окружности. Обозначим это отношение за x. Тогда 
Тогда по теореме Пифагора 
откуда 
Ответ: 1.