Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д15 C4 № 526938

В треугольнике ABC сторона AC больше стороны BC. Биссектриса CL пересекает описанную около треугольника ABC окружность в точке K. На стороне AC отмечена точка P так, что \angle ALK=\angle CLP.

а) Докажите, что точки A, P, L, K лежат на одной окружности.

б) Найдите площадь четырехугольника APLK, если BC=4, AB=5, AC=6.

Спрятать решение

Решение.

а) Имеем:

\angle LPA плюс \angle LKA=180 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус \angle CPL плюс \angle CBA=

 

=\angle PCL плюс \angle CLP плюс \angle CBA=\angle BCL плюс \angle ALK плюс \angle CBA=

 

=\angle BCL плюс \angle CLB плюс \angle CBL=180 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка ,

поэтому четырехугольник LPAK вписанный. В равенствах использованы углы, опирающиеся на дугу AC, сумма углов треугольника PCL, биссектриса и условие о равенстве углов, вертикальные углы и, наконец, сумма углов треугольника BCL.

б) По свойству биссектрисы BL:LA=BC:CA, откуда BL=2, LA=3. Поскольку \angle BCL=\angle LCP=\angle KCA и \angle BLC=\angle CLP=\angle CAK (последнее равенство верно, поскольку \angle CAK=180 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус \angle PLK=\angle CLP), треугольники BCL, PCL, ACK подобны (первые два даже равны, потому что у них общая сторона CL). Тогда:

S_AKLP=S_ACK минус S_CLP=S_BCL умножить на левая круглая скобка дробь: числитель: AC, знаменатель: CL конец дроби правая круглая скобка в квадрате минус S_BCL=S_BCL левая круглая скобка левая круглая скобка дробь: числитель: AC, знаменатель: CL конец дроби правая круглая скобка в квадрате минус 1 правая круглая скобка = дробь: числитель: 2, знаменатель: 5 конец дроби S_ABC левая круглая скобка левая круглая скобка дробь: числитель: 36, знаменатель: CL конец дроби правая круглая скобка в квадрате минус 1 правая круглая скобка .

Площадь ABC найдем по формуле Герона:

S_ABC= корень из дробь: числитель: 15, знаменатель: 2 конец дроби умножить на дробь: числитель: 5, знаменатель: 2 конец дроби умножить на дробь: числитель: 7, знаменатель: 2 конец дроби умножить на дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби = дробь: числитель: 15, знаменатель: 4 конец дроби корень из 7.

Найдём биссектрису:

CL= корень из BC умножить на AC минус BL умножить на AL= корень из 24 минус 6= корень из 18.

Окончательно:

S_APLK= дробь: числитель: 2, знаменатель: 5 конец дроби умножить на дробь: числитель: 15, знаменатель: 4 конец дроби корень из 7 умножить на левая круглая скобка левая круглая скобка дробь: числитель: 36, знаменатель: 18 конец дроби правая круглая скобка в квадрате минус 1 правая круглая скобка = дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби корень из 7.

Ответ:  дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби корень из 7.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта а и обоснованно получен верный ответ в пункте б.3
Получен обоснованный ответ в пункте б.

ИЛИ

Имеется верное доказательство утверждения пункта а и при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки.

2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а.

ИЛИ

При обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки.

ИЛИ

Обоснованно получен верный ответ в пункте б и использованием утверждения пункта а, при этом пункт а не выполнен.

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.0
Максимальный балл3
Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 200.
Методы геометрии: Свойства биссектрис