Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип Д15 C4 № 526938
i

В тре­уголь­ни­ке ABC сто­ро­на AC боль­ше сто­ро­ны BC. Бис­сек­три­са CL пе­ре­се­ка­ет опи­сан­ную около тре­уголь­ни­ка ABC окруж­ность в точке K. На сто­ро­не AC от­ме­че­на точка P так, что \angle ALK=\angle CLP.

а)  До­ка­жи­те, что точки A, P, L, K лежат на одной окруж­но­сти.

б)  Най­ди­те пло­щадь че­ты­рех­уголь­ни­ка APLK, если BC=4, AB=5, AC=6.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  Имеем:

\angle LPA плюс \angle LKA=180 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка минус \angle CPL плюс \angle CBA=

 

=\angle PCL плюс \angle CLP плюс \angle CBA=\angle BCL плюс \angle ALK плюс \angle CBA=

 

=\angle BCL плюс \angle CLB плюс \angle CBL=180 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка ,

по­это­му че­ты­рех­уголь­ник LPAK впи­сан­ный. В ра­вен­ствах ис­поль­зо­ва­ны углы, опи­ра­ю­щи­е­ся на дугу AC, сумма углов тре­уголь­ни­ка PCL, бис­сек­три­са и усло­вие о ра­вен­стве углов, вер­ти­каль­ные углы и, на­ко­нец, сумма углов тре­уголь­ни­ка BCL.

б)  По свой­ству бис­сек­три­сы BL:LA=BC:CA, от­ку­да BL=2, LA=3. По­сколь­ку \angle BCL=\angle LCP=\angle KCA и \angle BLC=\angle CLP=\angle CAK (по­след­нее ра­вен­ство верно, по­сколь­ку \angle CAK=180 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка минус \angle PLK=\angle CLP), тре­уголь­ни­ки BCL, PCL, ACK по­доб­ны (пер­вые два даже равны, по­то­му что у них общая сто­ро­на CL). Тогда:

S_AKLP=S_ACK минус S_CLP=S_BCL умно­жить на левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: AC, зна­ме­на­тель: CL конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те минус S_BCL=S_BCL левая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: AC, зна­ме­на­тель: CL конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби S_ABC левая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 36, зна­ме­на­тель: CL конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка .

Пло­щадь ABC най­дем по фор­му­ле Ге­ро­на:

S_ABC= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: дробь: чис­ли­тель: 15, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 7, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби конец ар­гу­мен­та = дробь: чис­ли­тель: 15, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 7 конец ар­гу­мен­та .

Найдём бис­сек­три­су:

CL= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: BC умно­жить на AC минус BL умно­жить на AL конец ар­гу­мен­та = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 24 минус 6 конец ар­гу­мен­та = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 18 конец ар­гу­мен­та .

Окон­ча­тель­но:

S_APLK= дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 15, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 7 конец ар­гу­мен­та умно­жить на левая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 36, зна­ме­на­тель: 18 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 7 конец ар­гу­мен­та .

Ответ: дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 7 конец ар­гу­мен­та .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а и обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б.3
По­лу­чен обос­но­ван­ный ответ в пунк­те б.

ИЛИ

Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а и при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки.

2
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а.

ИЛИ

При обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки.

ИЛИ

Обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б и ис­поль­зо­ва­ни­ем утвер­жде­ния пунк­та а, при этом пункт а не вы­пол­нен.

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше.0
Мак­си­маль­ный балл3
Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 200
Методы геометрии: Свой­ства бис­сек­трис
Классификатор планиметрии: Окруж­ность, опи­сан­ная во­круг че­ты­рех­уголь­ни­ка, По­до­бие, Тре­уголь­ни­ки
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025