ЕГЭ–2025, математика профильная: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип Д15 C4 № 527615 Добавить в вариант

В прямоугольном треугольнике ABC точка M  — середина гипотенузы AB, $BC больше AC.$ На катете BC взята точка K такая, что $\angle MKC=\angle BAC.$

а)  Докажите, что угол KMC прямой.

б)  Пусть N  — вторая (помимо M) точка пересечения прямой СМ и описанной окружности треугольника BMK. Найдите угол АNВ.

Спрятать решение

Решение.

а)  В прямоугольном треугольнике $AM=BM=CM,$ поэтому $\angle MAC=\angle MCA.$ Обозначим этот угол $альфа .$ Тогда и $\angle MKC= альфа ,$ а

$\angle KCM=90 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус \angle MCA=90 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус альфа ,$

поэтому

$\angle KMC=180 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус \angle MKC минус \angle KCM=90 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка .$

б)  Сразу заметим, что четырехугольник BKMN  — вписанный, поэтому

$\angle ACN= альфа =\angle CKM=180 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус \angle BKM=\angle BNM=\angle BNC.$

Значит, прямая BN параллельна прямой AC. Тогда $\angle NBA=\angle BAC= альфа ,$ треугольник BMN равнобедренный и $BM=MN.$ Значит, BNAC  — параллелограмм (его диагонали делятся пополам точкой пересечения), поэтому $\angle BNA=\angle BCA=90 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка .$

Ответ: б) 90°.

Приведём другое решение.

а)  По свойству медианы прямоугольного треугольника, CM  =  AM  =  BM. Значит, углы BAC и MCA равны. Следовательно,

$\angle MKC плюс \angle MCK=\angle MCA плюс \angle MCK=90 градусов.$

Поэтому

$\angle KMC=180 градусов минус 90 градусов=90 градусов.$

б)  Угол CMK равен 90°, значит, угол NMK равен 90°. Отрезок NK  — диаметр окружности, следовательно, угол NBK равен 90°. Значит, прямая AC параллельна прямой BN.

Далее,

$\angle ACM=\angle MNB=\angle CAM\angle =\angle NBM,$

$MN=MB=AM=CM.$

Следовательно, ANBC  — прямоугольник, откуда $\angle ANB=90 градусов.$

Ответ: б) 90°.

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта а и обоснованно получен верный ответ в пункте б	3
Получен обоснованный ответ в пункте б ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а и при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки	2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а ИЛИ при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки. ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б и использованием утверждения пункта а, при этом пункт а не выполнен	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	3

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 277

Методы геометрии: Углы в окружностях {центр., впис., опирающиеся на одну дугу}

Классификатор планиметрии: Окружность, описанная вокруг четырехугольника, Треугольники

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь