Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
В остроугольном треугольнике ABC высоты AA1 и CC1 пересекаются в точке О.
А) Докажите, что треугольники AOC и C1OA1 подобны.
Б) Найдите площадь четырехугольника ACA1C1, если известно, что угол ABC равен 30°, а площадь треугольника ABC равна 80.
Решение.
Спрятать критерии
а) Поскольку
точки 
и 
лежат на окружности с диаметром AC. Тогда по следствию теоремы о вписанном угле 
и 
поэтому указанные треугольники подобны по двум углам.
б) Заметим, что из вписанности четырехугольника 
следует, что 
аналогично 
поэтому треугольники BAC и BA1C1 подобны с коэффициентом подобия 
поэтому их площади относятся как 
Значит,
Ответ: 20.
Методы геометрии: Углы в окружностях {центр., впис., опирающиеся на одну дугу}
Классификатор планиметрии: Окружность, описанная вокруг четырехугольника, Подобие, Треугольники