СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
Математика профильного уровня
Cайты, меню, вход, новости


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д12 C4 № 532659

Два одинаковых правильных треугольника АВС и CDE расположены на плоскости так, что имеют только одну общую точку С, и угол BCD меньше, чем Точка K — середина отрезка АС, точка L — середина отрезка СЕ, точка М — середина отрезка BD.

а) Докажите, что треугольник KLM — равносторонний.

б) Найдите длину отрезка BD, если площадь треугольника KLM равна а сторона треугольника АВС равна 1.

Решение.

а) Треугольник BCD — равнобедренный. Угол поэтому KCMB вписан в окружность с диаметром BC, отсюда углы CMK и CBK равны 30°. Аналогично углы CML и CDL равны 30°, откуда угол KML равен 60°. Кроме того, треугольники KBM и LDM равны по двум сторонам и углу между ними. Таким образом, стороны LM и MK равны, следовательно, треугольник LMK равносторонний.

б) Пусть тогда отсюда Пусть по теореме синусов

Таким образом, откуда следовательно,

Поэтому

 

Ответ: б)

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 303. (Часть C)