Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип Д15 C4 № 514584
i

В тре­уголь­ни­ке ABC про­ве­де­ны бис­сек­три­сы AA1 и BB1.

а)  До­ка­жи­те, что угол между бис­сек­три­са­ми AA1 и BB1 равен 90 гра­ду­сов минус дробь: чис­ли­тель: \angle ACB, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби .

б)  Най­ди­те пло­щадь четырёхуголь­ни­ка ABA1B1, если из­вест­но, что AC  =  4, AB  =  5, BC  =  6.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  Пусть бис­сек­три­сы пе­ре­се­ка­ют­ся в точке O. Тогда \angle AOB=180 гра­ду­сов минус дробь: чис­ли­тель: \angle A плюс \angle B, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби =180 гра­ду­сов минус дробь: чис­ли­тель: 180 гра­ду­сов минус \angle C, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби =90 гра­ду­сов плюс дробь: чис­ли­тель: \angle C, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби . А смеж­ный с ним как раз равен 90 гра­ду­сов минус дробь: чис­ли­тель: \angle ACB, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби , и это угол между пря­мы­ми, по­сколь­ку он ост­рый.

б)  Бис­сек­три­сы делят сто­ро­ны в от­но­ше­нии, рав­ном от­но­ше­нию за­клю­ча­ю­щих сто­рон. По­это­му

CB_1= дробь: чис­ли­тель: 6, зна­ме­на­тель: 11 конец дроби AC, CA_1= дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: 9 конец дроби BC.

Зна­чит,

S_ABA_1B_1=S_ABC минус S_A_1B_1C= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби AC умно­жить на BC умно­жить на синус BCA умно­жить на левая круг­лая скоб­ка 1 минус дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: 9 конец дроби умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 6, зна­ме­на­тель: 11 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: 100, зна­ме­на­тель: 11 конец дроби синус BCA.

Из тео­ре­мы ко­си­ну­сов по­лу­ча­ем 25=16 плюс 36 минус 48 ко­си­нус \angle BCA, от­ку­да ко­си­нус \angle BCA= дробь: чис­ли­тель: 9, зна­ме­на­тель: 16 конец дроби , синус BCA= дробь: чис­ли­тель: 5 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 7 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 16 конец дроби .

Окон­ча­тель­но

S_ABA_1B_1= дробь: чис­ли­тель: 12 умно­жить на 25, зна­ме­на­тель: 33 конец дроби умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 5 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 7 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 16 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 125 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 7 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 44 конец дроби .

 

Ответ: дробь: чис­ли­тель: 125 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 7 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 44 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а и обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б.3
По­лу­чен обос­но­ван­ный ответ в пунк­те б.

ИЛИ

Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а и при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки.

2
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а.

ИЛИ

При обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки.

ИЛИ

Обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б и ис­поль­зо­ва­ни­ем утвер­жде­ния пунк­та а, при этом пункт а не вы­пол­нен.

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше.0
Мак­си­маль­ный балл3
Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 158
Методы геометрии: Свой­ства бис­сек­трис, Тео­ре­ма ко­си­ну­сов
Классификатор планиметрии: Тре­уголь­ни­ки
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025