Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип Д15 C4 № 521148
i

В тре­уголь­ни­ке ABC сто­ро­ны AB:BC:AC=3:4:5. Пер­вая окруж­ность впи­са­на в тре­уголь­ник АВС, а вто­рая ка­са­ет­ся AB и про­дол­же­ния сто­рон BC и AC.

а)  До­ка­зать, что от­но­ше­ние ра­ди­у­сов окруж­но­стей равно 2 : 1.

б)  Найти рас­сто­я­ние между точ­ка­ми ка­са­ния окруж­но­стей сто­ро­ны AB, если АС  =  15.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  Пусть сто­ро­ны тре­уголь­ни­ка AB=3x, BC=4x, AC=5x. По об­рат­ной тео­ре­ме Пи­фа­го­ра он пря­мо­уголь­ный, по­это­му его пло­щадь дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на 3x умно­жить на 4x=6x в квад­ра­те , по­лу­пе­ри­метр 6x. По фор­му­лам для ра­ди­у­сов впи­сан­ной и внев­пи­сан­ной окруж­но­сти на­хо­дим r= дробь: чис­ли­тель: S, зна­ме­на­тель: p конец дроби =x, r_AB= дробь: чис­ли­тель: S, зна­ме­на­тель: p минус AB конец дроби =2x, что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

 

б)  По фор­му­ле для от­рез­ков от вер­ши­ны до точки ка­са­ния с впи­сан­ной или внев­пи­сан­ной окруж­но­стью имеем:

QP=AB минус AQ минус BP=3x минус левая круг­лая скоб­ка p минус AC пра­вая круг­лая скоб­ка минус левая круг­лая скоб­ка p минус AC пра­вая круг­лая скоб­ка =3x минус x минус x=x.

По­сколь­ку 5x=15, x=3.

 

Ответ: 3.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а и обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б.3
По­лу­чен обос­но­ван­ный ответ в пунк­те б.

ИЛИ

Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а и при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки.

2
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а.

ИЛИ

При обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки.

ИЛИ

Обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б и ис­поль­зо­ва­ни­ем утвер­жде­ния пунк­та а, при этом пункт а не вы­пол­нен.

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше.0
Мак­си­маль­ный балл3
Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 181
Классификатор планиметрии: Внев­пи­сан­ная окруж­ность, Окруж­ность, впи­сан­ная в тре­уголь­ник, Тре­уголь­ни­ки
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025