Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип Д15 C4 № 521245
i

Окруж­но­сти \omega_1 и \omega_2 с цен­тра­ми в точ­ках O_1 и O_2 со­от­вет­ствен­но ка­са­ют­ся друг друга в точке А, при этом O_1 лежит на \omega_2. АВ  — диа­метр \omega_1. Хорда ВС пер­вой окруж­но­сти ка­са­ет­ся \omega_2 в точке Р. Пря­мая АР вто­рич­но пе­ре­се­ка­ет \omega_1 в точке D.

а)  До­ка­жи­те, что АР  =  DP.

б)  Най­ди­те пло­щадь че­ты­рех­уголь­ни­ка АВDС, если из­вест­но, что АС  =  4.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  Ра­ди­у­сы окруж­но­стей от­ли­ча­ют­ся вдвое, на­зо­вем O_2 P=r, O_1D=2r. Тре­уголь­ни­ки AO_2P и AO_1D по­доб­ны (они рав­но­бед­рен­ные с общим углом A) по­это­му

AP:AD=AO_2:AO_1=r:2r=1:2,

то есть P  — се­ре­ди­на AD.

б)  За­ме­тим, что \angle BPO_2=90 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка как угол между ка­са­тель­ной и ра­ди­у­сом. Зна­чит,

BP= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: BO_2 в квад­ра­те минус O_2P в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 9r в квад­ра­те минус r в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та =r ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 8 конец ар­гу­мен­та .

Тре­уголь­ни­ки BCA и BPO_2 по­доб­ны по двум углам ( \angle BCA=90 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка , по­то­му что опи­ра­ет­ся на диа­метр боль­шой окруж­но­сти) с ко­эф­фи­ци­ен­том дробь: чис­ли­тель: AB, зна­ме­на­тель: O_2B конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби , по­это­му 4=CA= дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби r. Итак, r=3. Имеем:

S_ACDB= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на AD умно­жить на BC умно­жить на синус \angle левая круг­лая скоб­ка AD,BC пра­вая круг­лая скоб­ка =

 

= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на 2AP умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби BP умно­жить на синус \angle APB= дробь: чис­ли­тель: 8, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби умно­жить на левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби AP умно­жить на BP умно­жить на синус \angle APB пра­вая круг­лая скоб­ка =

 

= дробь: чис­ли­тель: 8, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби S_ABP= дробь: чис­ли­тель: 8, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби BP умно­жить на AC= дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби умно­жить на 3 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 8 конец ар­гу­мен­та умно­жить на 4=32 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та .

 

Ответ: 32 ко­рень из 2 .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а и обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б.3
По­лу­чен обос­но­ван­ный ответ в пунк­те б.

ИЛИ

Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а и при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки.

2
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а.

ИЛИ

При обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки.

ИЛИ

Обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б и ис­поль­зо­ва­ни­ем утвер­жде­ния пунк­та а, при этом пункт а не вы­пол­нен.

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше.0
Мак­си­маль­ный балл3
Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 193
Классификатор планиметрии: По­до­бие, Тре­уголь­ни­ки
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025