Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д15 C4 № 521245

Окружности \omega_1 и \omega_2 с центрами в точках O_1 и  O_2 соответственно касаются друг друга в точке А, при этом O_1 лежит на \omega_2. АВ — диаметр \omega_1. Хорда ВС первой окружности касается \omega_2 в точке Р. Прямая АР вторично пересекает \omega_1 в точке D.

а) Докажите, что АР = DP.

б) Найдите площадь четырехугольника АВDС, если известно, что АС = 4.

Спрятать решение

Решение.

а) Радиусы окружностей отличаются вдвое, назовем O_2 P=r, O_1D=2r. Треугольники AO_2P и AO_1D подобны (они равнобедренные с общим углом A) поэтому

AP:AD=AO_2:AO_1=r:2r=1:2,

то есть P — середина AD.

б) Заметим, что \angle BPO_2=90 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка как угол между касательной и радиусом. Значит,

BP= корень из BO_2 в квадрате минус O_2P в квадрате = корень из 9r в квадрате минус r в квадрате =r корень из 8.

Треугольники BCA и BPO_2 подобны по двум углам ( \angle BCA=90 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка , потому что опирается на диаметр большой окружности) с коэффициентом  дробь: числитель: AB, знаменатель: O_2B конец дроби = дробь: числитель: 4, знаменатель: 3 конец дроби , поэтому 4=CA= дробь: числитель: 4, знаменатель: 3 конец дроби r. Итак, r=3. Имеем:

S_ACDB= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби умножить на AD умножить на BC умножить на синус \angle левая круглая скобка AD,BC правая круглая скобка =

 

= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби умножить на 2AP умножить на дробь: числитель: 4, знаменатель: 3 конец дроби BP умножить на синус \angle APB= дробь: числитель: 8, знаменатель: 3 конец дроби умножить на левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби AP умножить на BP умножить на синус \angle APB правая круглая скобка =

 

= дробь: числитель: 8, знаменатель: 3 конец дроби S_ABP= дробь: числитель: 8, знаменатель: 3 конец дроби умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби BP умножить на AC= дробь: числитель: 4, знаменатель: 3 конец дроби умножить на 3 корень из 8 умножить на 4=32 корень из 2.

 

Ответ: 32 корень из 2 .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта а и обоснованно получен верный ответ в пункте б.3
Получен обоснованный ответ в пункте б.

ИЛИ

Имеется верное доказательство утверждения пункта а и при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки.

2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а.

ИЛИ

При обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки.

ИЛИ

Обоснованно получен верный ответ в пункте б и использованием утверждения пункта а, при этом пункт а не выполнен.

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.0
Максимальный балл3
Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 193.
Классификатор планиметрии: Подобие, Треугольники