а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  От­бе­ри­те корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

Дана  пра­виль­ная  ше­сти­уголь­ная  приз­ма ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁. На ребре AA₁ от­ме­че­на точка M так, что А₁М : АМ  =  1 : 3. Через точки М и В₁ па­рал­лель­но АD₁ про­ве­де­на плос­кость Ω. 

а)  До­ка­жи­те, что плос­кость Ω про­хо­дит через вер­ши­ну F₁.  

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние от точки А до плос­ко­сти Ω, если  АВ  =  2, АА₁  =  4.

Най­ди­те об­ласть опре­де­ле­ния функ­ции 

Окруж­ность ω с цен­тром в точке О ка­са­ет­ся сто­ро­ны BC тре­уголь­ни­ка ABC в точке M и про­дол­же­ний сто­рон AB  и  AC.  Впи­сан­ная  в  этот  тре­уголь­ник  окруж­ность с цен­тром в точке Е  ка­са­ет­ся сто­ро­ны BC в точке K.  

а)  До­ка­жи­те, что ВК  =  СМ.                                                              

б)  Най­ди­те пло­щадь че­ты­рех­уголь­ни­ка ОКЕМ, если из­вест­но, что АС  =  5, ВС  =  6, АВ  =  4.

По двум вза­им­но пер­пен­ди­ку­ляр­ным шоссе в на­прав­ле­нии их пе­ре­се­че­ния од­но­вре­мен­но на­чи­на­ют дви­гать­ся два ав­то­мо­би­ля: один со ско­ро­стью 80 км/ч, дру­гой 60 км/ч. В на­чаль­ный мо­мент вре­ме­ни каж­дый ав­то­мо­биль на­хо­дит­ся на рас­сто­я­нии 100 км от пе­ре­крест­ка. Опре­де­ли­те время после на­ча­ла дви­же­ния, через ко­то­рое рас­сто­я­ние между ав­то­мо­би­ля­ми будет наи­мень­шим. Ка­ко­во это рас­сто­я­ние?

Най­ди­те все а, при каж­дом из ко­то­рых си­сте­ма

имеет ровно одно ре­ше­ние.

Име­ет­ся пять па­ло­чек с дли­на­ми 2, 3, 4, 5, 6. 

а)  Можно ли, ис­поль­зуя все па­лоч­ки, сло­жит рав­но­бед­рен­ный тре­уголь­ник?  

б)  Можно ли, ис­поль­зуя все па­лоч­ки, сло­жить пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник?  

в)  Какой наи­мень­шей пло­ща­ди можно сло­жить тре­уголь­ник, ис­поль­зуя все па­лоч­ки?  

(Раз­ла­мы­вать па­лоч­ки нель­зя.)