Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип Д15 C4 № 521220
i

Пер­вая окруж­ность впи­са­на в тре­уголь­ник АВС и ка­са­ет­ся ВС в точке М. Вто­рая окруж­ность ка­са­ет­ся ВС в точке N и про­дол­же­ний сто­рон АС и АВ.

а)  До­ка­жи­те, что длина МN равна мо­ду­лю раз­но­сти длин АВ и АС.

б)  Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка АВС, если из­вест­но, что ра­ди­у­сы окруж­но­стей от­но­сят­ся как 1 : 3, ВС  =  12, MN  =  4.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  По фор­му­ле для от­рез­ков от вер­ши­ны до точки ка­са­ния с впи­сан­ной или внев­пи­сан­ной окруж­но­стью имеем:

BM=CN= дробь: чис­ли­тель: AB плюс BC минус AC, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ,

по­это­му NM=\absBC минус BM минус CN (если они пе­ре­кры­ва­ют­ся, то под мо­ду­лем будет минус MN), Зна­чит,

MN=\absBC минус 2BM=\absBC минус левая круг­лая скоб­ка AB плюс BC минус AC пра­вая круг­лая скоб­ка =\absAC минус AB.

б)  Пусть AC боль­ше AB=x, тогда из пер­во­го пунк­та AC=x плюс 4. По фор­му­лам для ра­ди­у­сов впи­сан­ной и внев­пи­сан­ной окруж­но­сти имеем:

r= дробь: чис­ли­тель: 2S_ABC, зна­ме­на­тель: AB плюс AC плюс BC конец дроби ,

 

r_BC= дробь: чис­ли­тель: 2S_ABC, зна­ме­на­тель: AB плюс AC минус BC конец дроби .

По­это­му их от­но­ше­ние равно:

дробь: чис­ли­тель: AB плюс AC плюс BC, зна­ме­на­тель: AB плюс AC минус BC конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 16 плюс 2x, зна­ме­на­тель: 2x минус 8 конец дроби =3,

от­ку­да:

16 плюс 2x=6x минус 24 рав­но­силь­но x=10.

Итак, сто­ро­ны тре­уголь­ни­ка равны 10, 12, 14, по фор­му­ле Ге­ро­на его пло­щадь:

ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 18 умно­жить на 8 умно­жить на 6 умно­жить на 4 конец ар­гу­мен­та =24 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 6 конец ар­гу­мен­та

 

Ответ: 24 ко­рень из 6 .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а и обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б.3
По­лу­чен обос­но­ван­ный ответ в пунк­те б.

ИЛИ

Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а и при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки.

2
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а.

ИЛИ

При обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки.

ИЛИ

Обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б и ис­поль­зо­ва­ни­ем утвер­жде­ния пунк­та а, при этом пункт а не вы­пол­нен.

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше.0
Мак­си­маль­ный балл3
Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 190
Классификатор планиметрии: Внев­пи­сан­ная окруж­ность, Тре­уголь­ни­ки
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025