В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AD и CE, пересекающиеся в точке P. Известно, что АС = 26, DE = 10.
а) Найдите отношение радиусов окружностей, вписанных в треугольники DEP и ACP.
б) Найдите расстояние между серединами отрезков АС и DE.
а) Рассмотрим окружность, построенную на AC как на диаметре. Углы AEC и ADC равны 90°, следовательно, E и D лежат на этой окружности. Углы EDA и ECA равны как вписанные, значит, треугольники EDP и APC подобным по двум углам. Коэффициент подобия равен 
значит, и отношение радиусов равно 5 : 13.
б) Пусть M — середина ED, N — середина AC, AC — диаметр окружности, проходящей через E и D. Тогда
следовательно, треугольнике NED — равнобедренный, NM — медиана и высота.
Тогда
откуда 
Ответ: а) 5 : 13, б) 12.