В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AM и CN.
А) Докажите, что углы ACB и MNB равны.
Б) Вычислите длину стороны АС, если известно, что периметр треугольника ABC равен 25 см, периметр треугольника BMN равен 15 см, а радиус окружности, описанной около треугольника BMN равен 3 см.
А) Рассмотрим прямоугольные треугольники AMB и CNB, у которых В — общий острый угол.
В ΔAMB: 
В ΔCNB: 
Откуда: 
Итак, в треугольниках MNB и ACB: 
угол В, заключенный между пропорциональными сторонами, общий. Это значит, что ΔMNB ~ ΔACB, откуда ∠ACB = ∠MNB, что и требовалось доказать.
Б) Известно, что у подобных треугольников периметры относятся как соответствующие стороны. Следовательно,
Если 
то непременно 
По следствию из теоремы синусов: 
Ответ: Б) 8 см.