СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
≡ математика
сайты - меню - вход - новости


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д12 C4 № 527240

В тре­уголь­ни­ке ABC, где про­ве­де­на ме­ди­а­на AD и бис­сек­три­са СЕ, пе­ре­се­ка­ю­щи­е­ся в точке M. Через M про­ве­де­на пря­мая, па­рал­лель­ная AC и пе­ре­се­ка­ю­щая сто­ро­ны AB и BC в точ­ках P и Q со­от­вет­ствен­но.

а) Най­ди­те PM.

б) Най­ди­те ра­ди­ус окруж­но­сти, впи­сан­ной в тре­уголь­ник PQB.

Ре­ше­ние.

а) Вы­чис­лим BC по тео­ре­ме ко­си­ну­сов:

от­ку­да По свой­ству бис­сек­три­сы в тре­уголь­ни­ке ACD имеем

по­это­му Из по­до­бия тре­уголь­ни­ков DMQ и DAC по­лу­ча­ем:

C дру­гой сто­ро­ны, из по­до­бия BPQ и BAC с ко­эф­фи­ци­ен­том

на­хо­дим

от­ку­да

б) Вы­чис­лим сна­ча­ла ра­ди­ус окруж­но­сти, впи­сан­ной в тре­уголь­ник ABC. Его по­лу­пе­ри­метр равен а пло­щадь — по­это­му Зна­чит, у по­доб­но­го ему PQB ра­ди­ус равен

 

Ответ: а) б)

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 246.
Методы геометрии: Теорема косинусов, Теорема синусов
Классификатор планиметрии: Подобие, Треугольники