Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип Д15 C4 № 527240
i

В тре­уголь­ни­ке ABC, где AB=BC=3, \angle ABC= арк­ко­си­нус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 9 конец дроби про­ве­де­на ме­ди­а­на AD и бис­сек­три­са СЕ, пе­ре­се­ка­ю­щи­е­ся в точке M. Через M про­ве­де­на пря­мая, па­рал­лель­ная AC и пе­ре­се­ка­ю­щая сто­ро­ны AB и BC в точ­ках P и Q со­от­вет­ствен­но.

а)  Най­ди­те PM.

б)  Най­ди­те ра­ди­ус окруж­но­сти, впи­сан­ной в тре­уголь­ник PQB.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  Вы­чис­лим AC по тео­ре­ме ко­си­ну­сов:

AC в квад­ра­те =9 плюс 9 минус 2 умно­жить на 9 умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 9 конец дроби =16,

от­ку­да AC=4. По свой­ству бис­сек­три­сы в тре­уголь­ни­ке ACD имеем

AM:MD=AC:CD=4: дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби =8:3,

по­это­му MD= дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 11 конец дроби AD. Из по­до­бия тре­уголь­ни­ков DMQ и DAC по­лу­ча­ем:

MQ= дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 11 конец дроби AC= дробь: чис­ли­тель: 12, зна­ме­на­тель: 11 конец дроби .

C дру­гой сто­ро­ны, из по­до­бия BPQ и BAC с ко­эф­фи­ци­ен­том

BQ:BC= левая круг­лая скоб­ка BD плюс DQ пра­вая круг­лая скоб­ка : левая круг­лая скоб­ка 2DC пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби левая круг­лая скоб­ка DQ:DC пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 11 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 7, зна­ме­на­тель: 11 конец дроби

на­хо­дим

PQ= дробь: чис­ли­тель: 7, зна­ме­на­тель: 11 конец дроби AC= дробь: чис­ли­тель: 28, зна­ме­на­тель: 11 конец дроби ,

от­ку­да

PM=PQ минус QM= дробь: чис­ли­тель: 16, зна­ме­на­тель: 11 конец дроби .

б)  Вы­чис­лим сна­ча­ла ра­ди­ус окруж­но­сти, впи­сан­ной в тре­уголь­ник ABC. Его по­лу­пе­ри­метр равен 5, а пло­щадь  — дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на 4 умно­жить на ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 в квад­ра­те минус 2 в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та =2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 конец ар­гу­мен­та , по­это­му r= дробь: чис­ли­тель: 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 5 конец дроби . Зна­чит, у по­доб­но­го ему PQB ра­ди­ус равен дробь: чис­ли­тель: 14 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 55 конец дроби .

 

Ответ: а) дробь: чис­ли­тель: 16, зна­ме­на­тель: 11 конец дроби ; б) дробь: чис­ли­тель: 14 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 55 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а и обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б.3
По­лу­чен обос­но­ван­ный ответ в пунк­те б.

ИЛИ

Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а и при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки.

2
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а.

ИЛИ

При обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки.

ИЛИ

Обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б и ис­поль­зо­ва­ни­ем утвер­жде­ния пунк­та а, при этом пункт а не вы­пол­нен.

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше.0
Мак­си­маль­ный балл3
Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 246
Методы геометрии: Тео­ре­ма ко­си­ну­сов, Тео­ре­ма си­ну­сов
Классификатор планиметрии: По­до­бие, Тре­уголь­ни­ки
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025