Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип Д15 C4 № 527304
i

В окруж­но­сти с цен­тром в точке О ра­ди­у­са 4 про­ве­де­ны хорда AB и диа­метр AK, об­ра­зу­ю­щий с хор­дой угол дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 8 конец дроби . В точке B про­ве­де­на ка­са­тель­ная к окруж­но­сти, пе­ре­се­ка­ю­щая про­дол­же­ние диа­мет­ра AK в точке С.

а)  До­ка­жи­те, что тре­уголь­ник OBC  — рав­но­бед­рен­ный

б)  Най­ди­те длину ме­ди­а­ны AM тре­уголь­ни­ка ABC.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  Дуга BK (а сле­до­ва­тель­но, и угол BOC) равна 2\angle BAK= дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби по тео­ре­ме о впи­сан­ном угле. Тре­уголь­ник OBC пря­мо­уголь­ный, по­сколь­ку ка­са­тель­ная пе­ре­пен­ди­ку­ляр­на ра­ди­у­су, про­ве­ден­но­му в точку ка­са­ния. То есть \angle OBC= дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби . Тогда тре­тий угол тре­уголь­ни­ка OBC равен

Пи минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби =\angle BOC,

от­ку­да OB=BC.

б)  Мы знаем, что \angle BAK= дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 8 конец дроби , \angle BCA= дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби , по­это­му \angle ABC= дробь: чис­ли­тель: 5 Пи , зна­ме­на­тель: 8 конец дроби . Кроме того, BC=BO=4. По тео­ре­ме си­ну­сов тогда

дробь: чис­ли­тель: AC, зна­ме­на­тель: синус дробь: чис­ли­тель: 5 Пи , зна­ме­на­тель: 8 конец дроби конец дроби = дробь: чис­ли­тель: AB, зна­ме­на­тель: синус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби конец дроби = дробь: чис­ли­тель: BC, зна­ме­на­тель: синус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 8 конец дроби конец дроби ,

от­ку­да

AC= дробь: чис­ли­тель: 4 синус дробь: чис­ли­тель: 5 Пи , зна­ме­на­тель: 8 конец дроби , зна­ме­на­тель: синус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 8 конец дроби конец дроби и AB= дробь: чис­ли­тель: 4 синус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби , зна­ме­на­тель: синус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 8 конец дроби конец дроби

На­ко­нец, по фор­му­ле ме­ди­а­ны тре­уголь­ни­ка имеем:

AM= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2AB в квад­ра­те плюс 2AC в квад­ра­те минус BC в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: дробь: чис­ли­тель: 32 синус в квад­ра­те дробь: чис­ли­тель: 5 Пи , зна­ме­на­тель: 8 конец дроби , зна­ме­на­тель: синус в квад­ра­те дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 8 конец дроби конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: 32 синус в квад­ра­те дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби , зна­ме­на­тель: синус в квад­ра­те дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 8 конец дроби конец дроби минус 16 конец ар­гу­мен­та =

= дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: синус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 8 конец дроби конец дроби ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 синус в квад­ра­те дробь: чис­ли­тель: 5 Пи , зна­ме­на­тель: 8 конец дроби плюс 2 синус в квад­ра­те дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби минус синус в квад­ра­те дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 8 конец дроби конец ар­гу­мен­та = дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: синус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 8 конец дроби конец дроби ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 ко­си­нус в квад­ра­те дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 8 конец дроби плюс 1 минус синус в квад­ра­те дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 8 конец дроби конец ар­гу­мен­та =

= дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: синус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 8 конец дроби конец дроби ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: ко­си­нус в квад­ра­те дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 8 конец дроби плюс 1 плюс ко­си­нус в квад­ра­те дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 8 конец дроби минус синус в квад­ра­те дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 8 конец дроби конец ар­гу­мен­та = дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: синус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 8 конец дроби конец дроби ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ко­си­нус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби плюс 1 плюс ко­си­нус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби конец ар­гу­мен­та = дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 6 плюс 3 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: синус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 8 конец дроби конец дроби .

Ответ: AM= дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 6 плюс 3 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: синус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 8 конец дроби конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а и обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б.3
По­лу­чен обос­но­ван­ный ответ в пунк­те б.

ИЛИ

Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а и при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки.

2
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а.

ИЛИ

При обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки.

ИЛИ

Обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б и ис­поль­зо­ва­ни­ем утвер­жде­ния пунк­та а, при этом пункт а не вы­пол­нен.

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше.0
Мак­си­маль­ный балл3
Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 250
Методы геометрии: Свой­ства ме­ди­ан, Тео­ре­ма си­ну­сов
Классификатор планиметрии: По­до­бие, Тре­уголь­ни­ки
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025