Треугольник АВС (АВ < АC) вписан в окружность. На стороне АС отмечена точка Е так, что АЕ = АВ. Серединный перпендикуляр к отрезку СЕ пересекает дугу ВС, не содержащую точки А, в точке К.
а) Докажите, что АК является биссектрисой угла ВАС.
б) Найдите площадь четырехугольника АВКЕ, если известно, что АВ = 5, АС = 11, ВС = 10.
а) Вывернем задачу. Обозначим за
середину дуги CB, тогда 
Опустим перпендикуляр KH на AC и отметим на AC точку 
так, что 
Тогда в треугольнике CKE высота совпадает с медианой и 
Значит, у треугольников 
и ABK равны две стороны и угол не между ними. Такие треугольники могут быть равны или иметь углы, составляющие в сумме 
Второе невозможно, поскольку 
Значит, треугольники равны, то есть 
поэтому построенная таким образом точка совпадает с точкой E, перпендикуляр- с перпендикуляром из задачи и точка — с точкой K, то есть AK — биссектриса.
б) 
Пусть L — основание биссектрисы. Тогда 
откуда 
По формуле для биссектрисы имеем 
По теореме о пересекающихся хордах 
и 
Наконец, по теореме косинусов в треугольнике ABC имеем 
Значит, 
откуда 
Окончательно 
Ответ: б) 