Плос­кость, про­ве­ден­ная через центр шара, впи­сан­но­го в конус, па­рал­лель­на плос­ко­сти ос­но­ва­ния ко­ну­са, делит объем ко­ну­са по­по­лам. Найти угол при вер­ши­не осе­во­го се­че­ния ко­ну­са.

В тре­уголь­ной пи­ра­ми­де SABC все ребра равны друг другу. На ребре SA взята точка M такая, что SM = MA, на ребре SB  — точка N такая, что SN : SB = 1 : 3. Через точки M и N про­ве­де­на плос­кость, па­рал­лель­ная ме­ди­а­не AD ос­но­ва­ния ABC. Найти от­но­ше­ние объ­е­ма тре­уголь­ной пи­ра­ми­ды, от­се­ка­е­мой от ис­ход­ной про­ве­ден­ной плос­ко­стью, к объ­е­му пи­ра­ми­ды SABC.

Все грани тре­уголь­ной пи­ра­ми­ды  — рав­ные рав­но­бед­рен­ные тре­уголь­ни­ки, а вы­со­та пи­ра­ми­ды сов­па­да­ет с вы­со­той одной из ее бо­ко­вых гра­ней. Найти объем пи­ра­ми­ды, если рас­сто­я­ние между наи­боль­ши­ми про­ти­во­по­лож­ны­ми реб­ра­ми равно еди­ни­це.

В усе­чен­ный конус, об­ра­зу­ю­щая ко­то­ро­го на­кло­не­на под углом 45 гра­ду­сов к ниж­не­му ос­но­ва­нию, впи­сан шар. Найти от­но­ше­ние ве­ли­чи­ны бо­ко­вой по­верх­но­сти усе­чен­но­го ко­ну­са к ве­ли­чи­не по­верх­но­сти шара.

На реб­рах AA₁ и CC₁ куба ABCDA₁B₁C₁D₁ от­ме­че­ны со­от­вет­ствен­но точки E и F такие, что AE = 2A₁E, CF = 2C₁F. Через точки B, E и F про­ве­де­на плос­кость, де­ля­щая куб на две части. Най­ди­те от­но­ше­ния объ­е­ма части, со­дер­жа­щей точку B₁, к объ­е­му всего куба.

Дана пи­ра­ми­да SABC, точки D и E лежат со­от­вет­ствен­но на реб­рах SA и SB, при­чем SD : DA  =  1 : 2 и SE : EB  =  1 : 2. Через точки D и E про­ве­де­на плос­кость, па­рал­лель­ная ребру SC. В каком от­но­ше­нии эта плос­кость делит объем пи­ра­ми­ды?

В пи­ра­ми­де SABC ребра SC, BC, и AC равны со­от­вет­ствен­но 3 и 4. Из­вест­но, что угол ABC тупой, ребро SC пер­пен­ди­ку­ляр­но к плос­ко­сти ос­но­ва­ния ABC, а ра­ди­ус окруж­но­сти, опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка ABC равен Найти пло­щадь се­че­ния пи­ра­ми­ды плос­ко­стью, про­хо­дя­щей через вер­ши­ну S, точку пе­ре­се­че­ния ме­ди­ан тре­уголь­ни­ка ABC и центр окруж­но­сти, впи­сан­ной в этот тре­уголь­ник.

Длина вы­со­ты SO пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­ды SABC равна 1, а длины сто­рон ос­но­ва­ния ABC равны Точки M и N  — се­ре­ди­ны от­рез­ков АС и AB. Вы­чис­лить ра­ди­ус сферы, впи­сан­ной в пи­ра­ми­ду SАMN.

В пря­мой кру­го­вой конус впи­сан шар. От­но­ше­ние пло­ща­ди пол­ной по­верх­но­сти ко­ну­са к пло­ща­ди по­верх­но­сти шара равно 49 : 12. Найти от­но­ше­ние удво­ен­но­го объем шара к объ­е­му ко­ну­са.

В ос­но­ва­нии пи­ра­ми­ды лежит тре­уголь­ник со сто­ро­на­ми 7, 8, 9. Бо­ко­вые рёбра пи­ра­ми­ды на­кло­не­ны к плос­ко­сти ос­но­ва­ния под углом 60 гра­ду­сов. Най­ди­те вы­со­ту пи­ра­ми­ды.

В пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­де SABC с вер­ши­ной S про­ве­де­на вы­со­та SD. На от­рез­ке SD взята точка K так, что SK : KD  =  1 : 2. Из­вест­но, что дву­гран­ные углы между ос­но­ва­ни­ем и бо­ко­вы­ми гра­ня­ми равны 30 гра­ду­сов, а рас­сто­я­ние от точки K до бо­ко­во­го ребра равно Найти объём пи­ра­ми­ды.

В пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­де SABC с вер­ши­ной S сто­ро­на ос­но­ва­ния равна Через пря­мую AB про­ве­де­но се­че­ние пер­пен­ди­ку­ляр­ное ребру SC, пло­щадь ко­то­ро­го равна 18. Найти длину бо­ко­во­го ребра пи­ра­ми­ды.

В пра­виль­ной четырёхуголь­ной пи­ра­ми­де SABCD с ос­но­ва­ни­ем ABCD сто­ро­на равна Точка K  — се­ре­ди­на ребра SC. Через пря­мую AK про­ве­де­но се­че­ние, па­рал­лель­ное одной из диа­го­на­лей ос­но­ва­ния, пло­щадь ко­то­ро­го равна 60. Най­ди­те рас­сто­я­ние от точки B до плос­ко­сти се­че­ния.

В пра­виль­ном тет­ра­эд­ре ABCD точки K и N се­ре­ди­ны рёбер AB и AD со­от­вет­ствен­но. Пря­мая DO пер­пен­ди­ку­ляр­на плос­ко­сти ABC. Рас­сто­я­ние между пря­мы­ми KN и DO равно 3. Найти пло­щадь се­че­ния тет­ра­эд­ра про­хо­дя­ще­го через се­ре­ди­ны трёх смеж­ных рёбер.

Пра­виль­ная тре­уголь­ная приз­ма ABCA₁B₁C₁ опи­са­на около шара ра­ди­у­са 1. Пусть M  — се­ре­ди­на ребра BB₁ и N  —  се­ре­ди­на ребра СС₁. В шар впи­сан пря­мой кру­го­вой ци­линдр так, что его ос­но­ва­ние лежит в плос­ко­сти AMN. Най­ди­те объём этого ци­лин­дра.

Дана тре­уголь­ная приз­ма ABCA₁B₁C₁ (AA₁ || BB₁ || CC₁). На ребре CC₁ вы­бра­на точка D. Се­че­ние, про­хо­дя­щее через точки A, B₁ и D, делит приз­му на два мно­го­гран­ни­ка ABCDB₁ и B₁AA₁C₁D, от­но­ше­ние объёмов ко­то­рых равно 13 : 17. В каком от­но­ше­нии точка D делит ребро CC₁?

Ребро куба ABCDA₁B₁C₁D₁ равно 1. Най­ди­те рас­сто­я­ние между пря­мы­ми AD₁ и A₁C₁.

Ос­но­ва­ни­ем пи­ра­ми­ды слу­жит па­рал­ле­ло­грамм ABCD. Через сто­ро­ну AB и се­ре­ди­ну K бо­ко­во­го ребра про­ве­де­на плос­кость. Найти от­но­ше­ние объ­е­мов по­лу­чив­ших­ся ча­стей.

В пра­виль­ной тре­уголь­ной приз­ме ABCA₁B₁C₁, AC  =  6, AA₁ = 8. Через вер­ши­ну A про­ве­де­на плос­кость, пе­ре­се­ка­ю­щая ребра BB₁ и CC₁ со­от­вет­ствен­но в точ­ках M и N. Найти, в каком от­но­ше­нии эта плос­кость делит объем приз­мы, если из­вест­но, что BM  =  MB₁, а AN яв­ля­ет­ся бис­сек­три­сой угла CAC₁.

В тре­уголь­ной пи­ра­ми­де ABCD плос­кие углы BAC, BAD и CAD при вер­ши­не A равны и со­от­вет­ствен­но. Опре­де­лить угол между гра­ня­ми BAD и CAD.

Се­че­ние SAB, про­хо­дя­щее через вер­ши­ну S пря­мо­го кру­го­во­го ко­ну­са, имеет пло­щадь 60. Точки A и B, ле­жа­щие на окруж­но­сти ос­но­ва­ния ко­ну­са, делят ее длину в от­но­ше­нии 1 : 5. Найти объем ко­ну­са, если угол SAB равен

В пря­мом кру­гом ци­лин­дре, осе­вое се­че­ние ко­то­ро­го квад­рат со сто­ро­ной 12, хорда CD, рав­ная пер­пен­ди­ку­ляр­на диа­мет­ру Найти пло­щадь се­че­ния ци­лин­дра плос­ко­стью если об­ра­зу­ю­щая ци­лин­дра.

В ос­но­ва­нии пря­мой приз­мы ABCA₁B₁C₁ лежит рав­но­бед­рен­ный тре­уголь­ник ABC с ос­но­ва­ни­ем AB = 10. Най­ди­те рас­сто­я­ние между пря­мой CC₁ и пря­мой, про­хо­дя­щей через точку A и па­рал­лель­ной пря­мой CM₁, где M₁  — се­ре­ди­на сто­ро­ны A₁B₁.

В пра­виль­ной че­ты­рех­уголь­ной пи­ра­ми­де SABCD с вер­ши­ной S, сто­ро­ной ос­но­ва­ния рав­ной 6 и бо­ко­вым реб­ром 5, про­ве­де­на плос­кость MKS через се­ре­ди­ны ребер AB и В пи­ра­ми­ду впи­сан шар. Найти пло­щадь се­че­ния шара плос­ко­стью

Две па­рал­лель­ные плос­ко­сти, рас­сто­я­ние между ко­то­ры­ми 2, пе­ре­се­ка­ют шар. Одна из плос­ко­стей про­хо­дит через центр шара. От­но­ше­ние пло­ща­дей се­че­ния шара этими плос­ко­стя­ми равно 0,84. Най­ди­те ра­ди­ус шара.

Дана пра­виль­ная четырёхуголь­ная пи­ра­ми­да SABCD с вер­ши­ной S. На про­дол­же­нии ребра CD взята точка K так, что KD : KC  =  3 : 4. На ребре SC взята точка L так, что SL : LC = 2 : 1.

а)  По­строй­те плос­кость, про­хо­дя­щую точки K, B и L;

б)  В каком от­но­ше­нии эта плос­кость делит объём пи­ра­ми­ды?

На ос­но­ва­нии пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­ды с вы­со­той 2 лежит шар, ка­са­ю­щий­ся ос­но­ва­ния в его цен­тре. Ра­ди­ус окруж­но­сти, впи­сан­ной в ос­но­ва­ние, равен 1. Плос­кость p, про­ведённая через вер­ши­ну пи­ра­ми­ды и се­ре­ди­ны двух сто­рон ос­но­ва­ния, ка­са­ет­ся этого шара.

а)  По­строй­те плос­кость p.

б)  Най­ди­те ра­ди­ус шара.

Че­ты­ре сферы ра­ди­у­са 1 по­пар­но ка­са­ют­ся. Най­ди­те ра­ди­ус сферы, ка­са­ю­щей­ся всех четырёх сфер.

Че­ты­ре сферы ра­ди­у­са 1 по­пар­но ка­са­ют­ся друг друга. Най­ди­те вы­со­ту ко­ну­са, со­дер­жа­ще­го эти сферы так, что все они ка­са­ют­ся бо­ко­вой по­верх­но­сти и три из них  — ос­но­ва­ния ко­ну­са.

Два шара ка­са­ют­ся друг друга и гра­ней трёхгран­но­го угла, все плос­кие углы ко­то­ро­го пря­мые. Най­ди­те от­но­ше­ние ра­ди­у­сов этих шаров.

Внут­ри пра­виль­но­го тет­ра­эд­ра с реб­ром a‍ рас­по­ло­же­ны че­ты­ре рав­ных шара. Каж­дый шар ка­са­ет­ся трёх дру­гих и трёх гра­ней тет­ра­эд­ра. Най­ди­те ра­ди­у­сы шаров.

Бо­ко­вое ребро пра­виль­ной четырёхуголь­ной пи­ра­ми­ды равно b,‍ а плос­кий угол при вер­ши­не равен α.‍ Най­ди­те ра­ди­ус сферы опи­сан­ной около пи­ра­ми­ды.

Сто­ро­на ос­но­ва­ния пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­ды равна a.‍ Бо­ко­вое ребро об­ра­зу­ет с плос­ко­стью ос­но­ва­ния угол 60‍°.‍ Най­ди­те ра­ди­ус сферы, опи­сан­ной около пи­ра­ми­ды.

Сто­ро­на ос­но­ва­ния пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­ды равна a.‍ Бо­ко­вое ребро об­ра­зу­ет с плос­ко­стью ос­но­ва­ния угол 60‍°.‍ Най­ди­те ра­ди­ус сферы, впи­сан­ной в пи­ра­ми­ду.

Дана пра­виль­ная тре­уголь­ная приз­ма ABCA₁B₁C₁.

а)  До­ка­жи­те, что объем пи­ра­ми­ды с вер­ши­на­ми в точ­ках A, B₁, B, C₁ со­став­ля­ет тре­тью часть объ­е­ма приз­мы.

б)  Най­ди­те угол между пря­мы­ми AB₁ и BC₁, если из­вест­но, что AB = 2, AA₁ = 4.

Все плос­кие углы при вер­ши­не S пи­ра­ми­ды SABC пря­мые.

а)  До­ка­жи­те, что точка S, точка пе­ре­се­че­ния ме­ди­ан тре­уголь­ни­ка ABC и точка, рав­но­уда­лен­ная от вер­шин пи­ра­ми­ды (центр опи­сан­ной сферы), лежат на одной пря­мой.

б)  Най­ди­те ра­ди­ус сферы впи­сан­ной в пи­ра­ми­ду SABC, если из­вест­но, что SA = 2, SB = 3, SC = 4.

В ос­но­ва­нии пра­виль­ной тре­уголь­ной приз­мы ABCA₁B₁C₁ лежит тре­уголь­ник со сто­ро­ной 18. Вы­со­та приз­мы равна Точка N делит ребро A₁C₁ в от­но­ше­нии 1 : 2, счи­тая, от точки A₁.

а)  По­строй­те се­че­ние приз­мы плос­ко­стью BAN.

б)  Най­ди­те пло­щадь этого се­че­ния.

Ос­но­ва­ни­ем пи­ра­ми­ды PABC яв­ля­ет­ся пра­виль­ный тре­уголь­ник ABC со сто­ро­ной 6. Каж­дая бо­ко­вая грань об­ра­зу­ет с плос­ко­стью ос­но­ва­ния угол Най­ди­те ра­ди­ус сферы, впи­сан­ной в дан­ную пи­ра­ми­ду.

Ос­но­ва­ни­ем пря­мой приз­мы ABCA₁B₁C₁ яв­ля­ет­ся рав­но­бед­рен­ный тре­уголь­ник ABC, в ко­то­ром CB  =  CA  =  5, BA  =  6. Вы­со­та приз­мы равна 10. Точка M  — се­ре­ди­на ребра AA₁.

А)  По­строй­те пря­мую, по ко­то­рой пе­ре­се­ка­ют­ся плос­ко­сти MBC₁ и ABC.

Б)  Вы­чис­ли­те угол между плос­ко­стя­ми MBC₁ и ABC.

Через вер­ши­ну В₁ куба ABCDA₁B₁C₁D₁ про­ве­де­на плос­кость Ω, пер­пен­ди­ку­ляр­ная пря­мой ВD₁.

А)  До­ка­жи­те, что плос­кость Ω делит от­ре­зок ВD₁ в от­но­ше­нии 2 : 1, счи­тая от вер­ши­ны D₁.

Б)  Най­ди­те от­но­ше­ние объ­е­мов мно­го­гран­ни­ков, на ко­то­рые раз­би­ва­ет куб плос­кость Ω.

а)  До­ка­жи­те, что ме­ди­а­ны тет­ра­эд­ра (от­рез­ки, со­еди­ня­ю­щие вер­ши­ны с точ­ка­ми пе­ре­се­че­ния ме­ди­ан про­ти­во­по­лож­ных гра­ней) и от­рез­ки, со­еди­ня­ю­щие се­ре­ди­ны про­ти­во­по­лож­ных ребер, пе­ре­се­ка­ют­ся в одной точке.

б)  Дан тет­ра­эдр ABCDс пря­мы­ми плос­ки­ми уг­ла­ми при вер­ши­не Пло­ща­ди гра­ней BCD, ACD и ABD равны со­от­вет­ствен­но 132, 150, 539. Най­ди­те объем тет­ра­эд­ра.

Все ребра пра­виль­ной ше­сти­уголь­ной приз­мы ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁ равны

а)  По­стро­ить се­че­ние приз­мы плос­ко­стью AFC₁.

б)  Най­ди­те пло­щадь этого се­че­ния.

Все ребра куба равны

а)  По­строй­те се­че­ние куба, про­хо­дя­щее через се­ре­ди­ны ребер AB, BC, CC₁.

б)  Най­ди­те пло­щадь этого се­че­ния.

Все ребра пра­виль­ной тре­уголь­ной приз­мы ABCA₁B₁C₁ равны 4.

а)  По­строй­те се­че­ние приз­мы, про­хо­дя­щее через се­ре­ди­ны ребер BC, CC₁, A₁C₁.

б)  Най­ди­те пло­щадь се­че­ния.

В пря­мо­уголь­ном па­рал­ле­ле­пи­пе­де ABCDA₁B₁C₁D₁ AB  =  3, AA₁  =  4, AD  =  5.

а)  До­ка­жи­те, что точки B, C₁, D и A₁ не лежат в одной плос­ко­сти.

б)  Най­ди­те объем мно­го­гран­ни­ка с вер­ши­на­ми в точ­ках B, C₁, D и A₁.

В пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­де SABC с ос­но­ва­ни­ем ABC из­вест­ны ребра и SC  =  17.

а)  До­ка­жи­те, что пря­мые AB и SC пер­пен­ди­ку­ляр­ны.

б)  Най­ди­те пло­щадь се­че­ния пи­ра­ми­ды плос­ко­стью, про­хо­дя­щей через точки А, В и се­ре­ди­ну вы­со­ты пи­ра­ми­ды, про­ве­ден­ной из вер­ши­ны S.

На вы­со­те рав­но­сто­рон­не­го ко­ну­са как на диа­мет­ре по­стро­ен шар. 

а)  До­ка­жи­те, что пол­ная по­верх­ность ко­ну­са рав­но­ве­ли­ка по­верх­но­сти шара. 

б)  Най­ди­те от­но­ше­ние объ­е­ма той части ко­ну­са, ко­то­рая лежит внут­ри шара, к объ­е­му той части шара, ко­то­рая лежит вне ко­ну­са. 

Сто­ро­на ос­но­ва­ния пра­виль­ной четырёхуголь­ной пи­ра­ми­ды равна a.‍ Бо­ко­вая грань об­ра­зу­ет с плос­ко­стью ос­но­ва­ния угол 45‍°.‍ Най­ди­те ра­ди­ус сферы, опи­сан­ной около пи­ра­ми­ды.

Сто­ро­на ос­но­ва­ния и вы­со­та пра­виль­ной ше­сти­уголь­ной пи­ра­ми­ды пи­ра­ми­ды равны a.‍ Най­ди­те ра­ди­ус сферы, опи­сан­ной около пи­ра­ми­ды.

Пра­виль­ная тре­уголь­ная приз­ма ABCA‍₁B‍₁C‍_1‍ опи­са­на около шара ра­ди­у­са R.‍ Точки M‍ и N  — ‍ се­ре­ди­ны рёбер BB‍_1‍ и CC‍₁.‍ В шар впи­сан ци­линдр так, что его ос­но­ва­ние лежит в плос­ко­сти AMN.‍ Най­ди­те объём ци­лин­дра

В тет­ра­эд­ре ABCD на ребре AB взята точка K, на ребре AC  — точка L, на ребре BD  — точка N, на ребре СD  — точка M. Точки E и G есть се­ре­ди­ны ребер AD и BC со­от­вет­ствен­но. Пря­мые EG, KM и LN пе­ре­се­ка­ют­ся в одной точке. Найти пло­щадь че­ты­рех­уголь­ни­ка KLMN, если AK : KB = 5, AD = 9, BC = 9, а угол между скре­щи­ва­ю­щи­ми­ся пря­мы­ми AD и BC равен 45°.

В пра­виль­ный тет­ра­эдр ABCD впи­сан шар. Из точки D на грань ABC тет­ра­эд­ра опу­ще­на вы­со­та DE. Точка P яв­ля­ет­ся се­ре­ди­ной от­рез­ка DE. Через точку P про­ве­де­на плос­кость, пер­пен­ди­ку­ляр­но к DE. Из всех точек, ко­то­рые при­над­ле­жат од­но­вре­мен­но шару и про­ве­ден­ной плос­ко­сти, взята точка O, яв­ля­ю­ща­я­ся бли­жай­шей к точке A. Найти рас­сто­я­ние от точки O до грани ABD, если объем шара равен 1.

В ос­но­ва­нии тре­уголь­ной пи­ра­ми­ды SABC лежит пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник ABC. Се­ре­ди­на D ги­по­те­ну­зы AB этого тре­уголь­ни­ка яв­ля­ет­ся ос­но­ва­ни­ет вы­со­ты SD дан­ной пи­ра­ми­ды. Из­вест­но, что SD = 2, AC = 4, BC = 3. Через се­ре­ди­ну вы­со­ты SD про­ве­де­но се­че­ние пи­ра­ми­ды плос­ко­стью, па­рал­лель­ной реб­рам AC и SB. Найти пло­щадь этого се­че­ния.

Шар, ра­ди­ус ко­то­ро­го равен 2, впи­сан в пра­виль­ную че­ты­рех­уголь­ную пи­ра­ми­ду SABCD с вер­ши­ной S. Вто­рой шар ра­ди­у­са 1 ка­са­ет­ся пер­во­го шара, ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды и бо­ко­вых гра­ней BSC и CSD. Най­ди­те объем пи­ра­ми­ды.

В тре­уголь­ной пи­ра­ми­де длины двух не­пе­ре­се­ка­ю­щих­ся рёбер равны 12 и 4, а осталь­ные рёбра имеют длину 7. В пи­ра­ми­ду впи­са­на сфера. Найти рас­сто­я­ние от цен­тра сферы до ребра длины 12.

В пи­ра­ми­де SLMN даны рёбра LM = 5, MN = 9, NL = 10. Сфера ра­ди­у­са ка­са­ет­ся плос­ко­сти ос­но­ва­ния LMN и бо­ко­вых рёбер пи­ра­ми­ды. Точки ка­са­ния делят эти рёбра в рав­ных от­но­ше­ни­ях, счи­тая от вер­ши­ны S. Найти объём пи­ра­ми­ды.

Бо­ко­вые рёбра пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­ды SABC на­кло­не­ны к плос­ко­сти ос­но­ва­ния под углом 45 гра­ду­сов. Шар ка­са­ет­ся плос­ко­сти ос­но­ва­ния ABC в точке A и, кроме того, ка­са­ет­ся впи­сан­но­го в пи­ра­ми­ду шара. Через центр пер­во­го шара и вы­со­ту BD ос­но­ва­ния про­ве­де­на плос­кость. Найти угол на­кло­на этой плос­ко­сти к плос­ко­сти ос­но­ва­ния.

Ос­но­ва­ни­ем пи­ра­ми­ды яв­ля­ет­ся ромб со сто­ро­ной 2, а его ост­рый угол равен 45 гра­ду­сов. Шар, ра­ди­ус ко­то­ро­го равен ка­са­ет­ся плос­ко­стей каж­дой бо­ко­вой грани пи­ра­ми­ды в точке, ле­жа­щей на то­ро­не ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды. Найти объём пи­ра­ми­ды.

Сто­ро­на DC пря­мо­уголь­ни­ка ABCD слу­жит вы­со­той ко­ну­са с вер­ши­ной D, DC  =  2. Ра­ди­ус ос­но­ва­ния этого ко­ну­са в два раза длин­нее от­рез­ка BC. Шар ка­са­ет­ся плос­ко­сти пря­мо­уголь­ни­ка ABCD в точке A и имеет един­ствен­ную общую точку с ко­ну­сом. Най­ди­те ра­ди­ус шара.

В пра­виль­ной че­ты­рех­уголь­ной пи­ра­ми­де SABCD с вер­ши­ной S бо­ко­вая сто­ро­на равна а сто­ро­на ос­но­ва­ния Точки M и K  — се­ре­ди­ны ребер AD и AB со­от­вет­ствен­но. Точка E лежит на ребре SC. Угол между плос­ко­стью MKE и плос­ко­стью ос­но­ва­ния равен 30 гра­ду­сов. Найти пло­щадь се­че­ния, про­хо­дя­ще­го через точки M, K и E.

В пра­виль­ной ше­сти­уголь­ной пи­ра­ми­де SABCDEF с вер­ши­ной S и бо­ко­вым реб­ром точки M и K  — се­ре­ди­ны ребер SF и SC со­от­вет­ствен­но. Найти длину сто­ро­ны ос­но­ва­ния, если угол между плос­ко­стя­ми AEK и BDM равен

В тре­уголь­ной пи­ра­ми­де SABC на ребре SB взята точка M, де­ля­щая от­ре­зок SB в от­но­ше­нии 3 : 5, счи­тая от вер­ши­ны S. Через точки A и M па­рал­лель­но ме­ди­а­не BD тре­уголь­ни­ка ABC про­ве­де­на плос­кость. В каком от­но­ше­нии эта плос­кость делит объем пи­ра­ми­ды?

Через се­ре­ди­ну вы­со­ты пра­виль­ной че­ты­рех­уголь­ной пи­ра­ми­ды про­ве­де­но се­че­ние, пер­пен­ди­ку­ляр­ное бо­ко­во­му ребру. Най­ди­те пло­щадь этого се­че­ния, если длина бо­ко­во­го ребра равна 4, а угол между бо­ко­вы­ми реб­ра­ми, ле­жа­щи­ми в одной грани, равен 60°.

Из­вест­но, что AB, AC, AD, DE, DF  — рёбра куба. Через вер­ши­ны E, F и се­ре­ди­ны рёбер AB и AC про­ве­де­на плос­кость P, де­ля­щая шар, впи­сан­ный в куб, на две части.

а)  По­строй­те плос­кость P.

б)  Най­ди­те от­но­ше­ние объёма мень­шей части шара к объёму всего шара.

В пря­мо­уголь­ном па­рал­ле­ле­пи­пе­де ABCDA₁B₁C₁D₁ из­вест­но, что AB  =  8, BC  =  6, ко­си­нус угла между пря­мы­ми ВD₁ и АС равен

а)  По­строй­те се­че­ние па­рал­ле­ле­пи­пе­да плос­ко­стью, про­хо­дя­щей через точки А и С па­рал­лель­но пря­мой ВD₁.

б)  Най­ди­те от­но­ше­ние объ­е­мов мно­го­гран­ни­ков, на ко­то­рые делит па­рал­ле­ле­пи­пед эта плос­кость.

В пря­мо­уголь­ном па­рал­ле­ле­пи­пе­де ABCD₁B₁C₁D₁ из­вест­но, что AB  =  8, BC  =  6, ко­си­нус угла между пря­мы­ми ВD и AC₁ равен 0,14.

А)  По­строй­те се­че­ние па­рал­ле­ле­пи­пе­да плос­ко­стью, про­хо­дя­щей через точки В и D па­рал­лель­но пря­мой AC₁.

Б)  Най­ди­те объем пи­ра­ми­ды, от­се­ка­е­мой от па­рал­ле­ле­пи­пе­да этой плос­ко­стью.

Сто­ро­на ос­но­ва­ния пра­виль­ной че­ты­рех­уголь­ной пи­ра­ми­ды SABCD равна 6, а вы­со­та 4. Точки K, P, M  — се­ре­ди­ны ребер AB, BC, SD.

а)  По­строй­те се­че­ние пи­ра­ми­ды плос­ко­стью, про­хо­дя­щей через точки K, M, P.

б)  Най­ди­те пло­щадь этого се­че­ния.

В пра­виль­ной че­ты­рех­уголь­ной пи­ра­ми­де SABCD длина вы­со­ты, опу­щен­ной из вер­ши­ны S на ос­но­ва­ние ABCD, равна Через точку ка­са­ния с бо­ко­вой гра­нью SAB впи­сан­но­го в эту пи­ра­ми­ду шара па­рал­лель­но пря­мой АВ про­ве­де­на плос­кость, про­хо­дя­щая через бли­жай­шую к вер­ши­не S точку шара.

а)  По­строй­те се­че­ние пи­ра­ми­ды этой плос­ко­стью.

б)  Най­ди­те пло­щадь се­че­ния, если АВ =

В кубе АВСDA₁B₁C₁D₁ с дли­ной ребра, рав­ной 1, на вер­ти­каль­ном ребре АА₁ и на го­ри­зон­таль­ном ребре АВ взяты точки M и N со­от­вет­ствен­но, при­чем

а)  По­стро­ить се­че­ние куба плос­ко­стью, про­хо­дя­щей через точки М и N па­рал­лель­но диа­го­на­ли АС ниж­не­го ос­но­ва­ния куба.

б)  Найти пло­щадь этого се­че­ния.

Ос­но­ва­ни­ем пи­ра­ми­ды SABCD яв­ля­ет­ся тра­пе­ция ABCD, у ко­то­рой AD||BC. На ребре SC вы­бра­на точка K так, что CK : KS  =  2 : 5. Плос­кость, про­хо­дя­щая через точки А, В и K, пе­ре­се­ка­ет ребро SD в точке L. Из­вест­но, что объ­е­мы пи­ра­мид SABKL и SABCD от­но­сят­ся, как 95 : 189.  

а)  По­строй­те се­че­ние пи­ра­ми­ды плос­ко­стью ABK. 

б)  Най­ди­те от­но­ше­ние длин ос­но­ва­ний тра­пе­ции ABCD.

В ос­но­ва­нии пря­мой приз­мы ABCA₁B₁C₁ лежит рав­но­бед­рен­ный тре­уголь­ник ABC (AB  =  АС). Точка K  — се­ре­ди­на ребра B₁C₁. 

а)  До­ка­жи­те, что пря­мая AB₁ па­рал­лель­на плос­ко­сти CKA₁. 

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние от пря­мой AB₁ до плос­ко­сти CKA₁, если из­вест­но, что CB  =  6, CA  =  5, CC₁  =  12.

AB  — диа­метр ниж­не­го ос­но­ва­ния ци­лин­дра, а CD  — хорда верх­не­го ос­но­ва­ния ци­лин­дра, причём CD || AB.

а)  До­ка­жи­те, что от­рез­ки AC и BD равны.

б)  Най­ди­те объём пи­ра­ми­ды, ос­но­ва­ни­ем ко­то­рой яв­ля­ет­ся четырёхуголь­ник с вер­ши­на­ми в точ­ках A, B, C, D, а вер­ши­ной  — центр верх­не­го ос­но­ва­ния ци­лин­дра, если из­вест­но, что вы­со­та ци­лин­дра равна 9, AB  =  26, CD  =  10.

В пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­де SABC сто­ро­на ос­но­ва­ния равна 6, а бо­ко­вое ребро равно 5. На ребре SC от­ме­че­на точка M так, что SM : MС  =  7 : 18.

а)  До­ка­жи­те, что плос­ко­сти SBC и ABM пер­пен­ди­ку­ляр­ны.

б)  Най­ди­те объем мень­шей части пи­ра­ми­ды SABC, на ко­то­рые ее раз­би­ва­ет плос­кость ABM.

В пря­мо­уголь­ном па­рал­ле­ле­пи­пе­де ABCDA₁B₁C₁D₁ AB  =  AA₁  =  6, BC  =  4. Точка P  — се­ре­ди­на ребра AB, точка M лежит на ребре DD₁ так, что DM : D₁D  =  2 : 3. 

а)  До­ка­жи­те, что пря­мая ВD₁ па­рал­лель­на плос­ко­сти MPC.  

б)  Най­ди­те пло­щадь се­че­ния па­рал­ле­ле­пи­пе­да плос­ко­стью MPC.

Дана пра­виль­ная ше­сти­уголь­ная приз­ма ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁. Через точки B, D₁, F₁ про­ве­де­на плос­кость α.

а)  До­ка­жи­те,  что  плос­кость  α пе­ре­се­ка­ет  ребро  CC₁ в такой точке М, что MC : MC₁  =  1 : 2.

б)  Най­ди­те от­но­ше­ние объ­е­мов мно­го­гран­ни­ков, на ко­то­рые дан­ную приз­му делит плос­кость α.

В ос­но­ва­нии пря­мой приз­мы ABCDA₁B₁C₁D₁ лежит ромб с диа­го­на­ля­ми АС  =  8 и ВD  =  6. Бо­ко­вое  ребро BB₁ равно 12. На  ребре BB₁ от­ме­че­на точка M так, что BM : B₁M  =  1 : 7.

а)  До­ка­жи­те, что пря­мая MD пер­пен­ди­ку­ляр­на плос­ко­сти АСD₁. 

б)  Най­ди­те объем пи­ра­ми­ды MACD₁.

В пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­де РАВС бо­ко­вое ребро равно 5, а сто­ро­на ос­но­ва­ния равна 6. На про­дол­же­нии ребра РА от­ме­че­на точка М  так, что МА : МР  =  9 : 16. 

а)  До­ка­жи­те, что плос­ко­сти РВС и МВС пер­пен­ди­ку­ляр­ны.  

б)  Най­ди­те объем пи­ра­ми­ды МАВС.

В пря­мо­уголь­ном па­рал­ле­ле­пи­пе­де ABCDA₁B₁C₁D₁ точка М лежит на ребре DD₁ так,  что DM : D₁M  =  1 : 2. Плос­кость, про­хо­дя­щая через точки  А и М па­рал­лель­но ВD₁, пе­ре­се­ка­ет ребро СD в точке Р.  

а)  До­ка­жи­те, что СР  =  DP. 

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние от точки D₁ до плос­ко­сти АМР, если из­вест­но, что АВ  =  12, ВС  =  9, АА₁  =  36.

Дана пра­виль­ная ше­сти­уголь­ная приз­ма ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁. O  — точка пе­ре­се­че­ния А₁D и AD₁.

а)  До­ка­жи­те, что плос­ко­сти OB₁C₁ и СЕЕ₁ пер­пен­ди­ку­ляр­ны.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние между пря­мы­ми B₁C₁ и СЕ₁, если из­вест­но, что АВ  =  1, АА₁  =  3.

Дана  пра­виль­ная  ше­сти­уголь­ная  приз­ма ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁. На ребре AA₁ от­ме­че­на точка M так, что А₁М : АМ  =  1 : 3. Через точки М и В₁ па­рал­лель­но АD₁ про­ве­де­на плос­кость Ω. 

а)  До­ка­жи­те, что плос­кость Ω про­хо­дит через вер­ши­ну F₁.  

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние от точки А до плос­ко­сти Ω, если  АВ  =  2, АА₁  =  4.

Дана пра­виль­ная тре­уголь­ная приз­ма ABCA₁B₁C₁.

А)  До­ка­жи­те, что пря­мая B₁C₁ пер­пен­ди­ку­ляр­на линии пе­ре­се­че­ния плос­ко­стей ABC₁ и АСВ₁. 

Б)  Най­ди­те угол между плос­ко­стя­ми ABC₁ и ACB₁, если из­вест­но, что AB  =  2, AA₁  =  2.

В пра­виль­ной пи­ра­ми­де PABC точки  Е, F, K, M, N  — се­ре­ди­ны ребер АС, ВС, РА, РВ и РС со­от­вет­ствен­но. 

А)  До­ка­жи­те,  что  объем  пи­ра­ми­ды  NEFMK  со­став­ля­ет  чет­верть  объ­е­ма  пи­ра­ми­ды PABC. 

Б)  Най­ди­те  ра­ди­ус  сферы,  про­хо­дя­щей  через  точки N, Е,  F, M, K, если  из­вест­но, что АВ  =  8, АР  =  6.

В пра­виль­ной ше­сти­уголь­ной приз­ме ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁ на ребре CC₁ от­ме­че­на точка М так, что СМ : С₁М  =  1 : 3. Плос­кость АЕМ пе­ре­се­ка­ет ребро ВВ₁ в точке К.  

А)  До­ка­жи­те, что ВК : В₁К  =  1 : 5. 

Б)  Най­ди­те пло­щадь се­че­ния приз­мы плос­ко­стью АЕМ, если АВ  =  3, СС₁  =  8.

Ци­линдр и конус имеют общее ос­но­ва­ние, вер­ши­на ко­ну­са яв­ля­ет­ся цен­тром дру­го­го ос­но­ва­ния ци­лин­дра. Каж­дая об­ра­зу­ю­щая ко­ну­са на­кло­не­на к плос­ко­сти ос­но­ва­ния под углом 30°.

а)  До­ка­жи­те, что пло­ща­ди бо­ко­вых по­верх­но­стей ци­лин­дра и ко­ну­са равны 

б)  Най­ди­те ра­ди­ус сферы, ка­са­ю­щей­ся бо­ко­вых по­верх­но­стей ци­лин­дра и ко­ну­са, а так 

же  од­но­го  из  ос­но­ва­ний  ци­лин­дра,  если  из­вест­но,  что  объем  ко­ну­са  равен 

В ос­но­ва­нии пря­мой приз­мы лежит рав­но­бед­рен­ная тра­пе­ция АВСD с ос­но­ва­ни­я­ми BC и АD. Точка К  — се­ре­ди­на ребра Плос­кость α про­хо­дит через се­ре­ди­ны ребер AB и па­рал­лель­но пря­мой

а)  До­ка­жи­те, что се­че­ни­ем приз­мы плос­ко­стью α яв­ля­ет­ся рав­но­бед­рен­ная тра­пе­ция.

б)  Най­ди­те объем боль­шей части приз­мы, на ко­то­рые ее раз­би­ва­ет плос­кость если из­вест­но, что

РH – вы­со­та пра­виль­ной че­ты­рех­уголь­ной пи­ра­ми­ды РАВСD, О – точка пе­ре­се­че­ния ме­ди­ан тре­уголь­ни­ка ВСР.

а)  До­ка­жи­те, что пря­мые РН и АО не имеют общих точек.

б)  Най­ди­те угол между пря­мы­ми  РН и  АО, если из­вест­но, что  

В пра­виль­ной че­ты­рех­уголь­ной пи­ра­ми­де PABCD сто­ро­на ос­но­ва­ния равна 20, а вы­со­та пи­ра­ми­ды равна 11,25. Через ребро АВ под углом β к плос­ко­сти АВС про­ве­де­на плос­кость α. Из­вест­но, что

а)  До­ка­жи­те, что плос­кость α делит ребро РС в от­но­ше­нии 1:4, счи­тая от точки Р.

б)  Най­ди­те пло­щадь се­че­ния пи­ра­ми­ды плос­ко­стью α.

В пря­мо­уголь­ном па­рал­ле­ле­пи­пе­де точка K лежит на ребре так, что Плос­кость α, про­хо­дя­щая через точки K и па­рал­лель­но пря­мой пе­ре­се­ка­ет ребро в точке Р.

а)  До­ка­жи­те, что

б)  Най­ди­те объем пи­ра­ми­ды, ос­но­ва­ни­ем ко­то­рой яв­ля­ет­ся се­че­ние па­рал­ле­ле­пи­пе­да плос­ко­стью α, а вер­ши­ной точка если из­вест­но, что

В пи­ра­ми­де SАВС угол АSВ равен 60°, а углы ВSС и СSА  — по 45°.  

а)  До­ка­жи­те, что плос­ко­сти ВSС и АSС пер­пен­ди­ку­ляр­ны.  

б)  Най­ди­те ра­ди­ус сферы впи­сан­ной в пи­ра­ми­ду SABC, если из­вест­но, что

В пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­де РABC (Р  — вер­ши­на) точка М лежит на ребре РС так, что Точка K лежит на пря­мой АВ так, что Точка В на­хо­дит­ся между точ­ка­ми A и K.

а)  До­ка­жи­те, что пря­мые АM и СK пер­пен­ди­ку­ляр­ны.

б)  Най­ди­те объем пи­ра­ми­ды АМСК, если из­вест­но, что АВ  =  2, АР  =  3.

В ос­но­ва­нии пи­ра­ми­ды PABC лежит пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник с ка­те­та­ми АС  =  6 и ВС  =  8. Пря­мая РС пер­пен­ди­ку­ляр­на плос­ко­сти АВС. На ребре АВ от­ме­че­на точка К так, что АК : ВК  =  9 : 16.

а)  До­ка­жи­те, что пря­мые РК и АВ пер­пен­ди­ку­ляр­ны.

б)  Най­ди­те от­но­ше­ние ра­ди­у­сов сфер, впи­сан­ных в пи­ра­ми­ды РАСК и РВСК, если из­вест­но, что РС  =  2.

В пра­виль­ной пи­ра­ми­де SABC ребра AB  =  2, SC  =  3. Через сред­нюю линию MN тре­уголь­ни­ка АВС, па­рал­лель­ную AB, про­ве­де­но се­че­ние ми­ни­маль­ной пло­ща­ди пи­ра­ми­ды SABC, пе­ре­се­ка­ю­щее ребро SC.

а)  До­ка­жи­те, что это се­че­ние пер­пен­ди­ку­ляр­но ребру SC.

б)  Най­ди­те пло­щадь этого се­че­ния

а)  Найти наи­боль­шую пло­щадь се­че­ния ко­ну­са, про­хо­дя­ще­го через вер­ши­ну, у ко­то­ро­го ра­ди­ус ос­но­ва­ния равен 6, а об­ра­зу­ю­щая  — 8.

б)  Об­ра­зу­ю­щая ко­ну­са равна 8, а ра­ди­ус ос­но­ва­ния R. Найти наи­боль­шую пло­щадь се­че­ния ко­ну­са, про­хо­дя­ще­го через вер­ши­ну в за­ви­си­мо­стиот R

В пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­де SABC ребро ос­но­ва­ния AB равно 2, а бо­ко­вое ребро АS равно Через точки S, A и се­ре­ди­ну сто­ро­ны BC  — точку К про­ве­де­но се­че­ние. Найти:

а)  Пло­щадь се­че­ния.

б)  Ко­си­нус угла между се­че­ни­ем и плос­ко­стью ABC.

В пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­де SABC, точки P, Q, R лежат на бо­ко­вых реб­рах AS, CS и BS, при­чем

а)  До­ка­зать, что объ­е­мы пи­ра­мид SPRQ и SABC от­но­сят­ся как 4 : 27.

б)  Найти объем пи­ра­ми­ды CPQR, если AB  =   2 и SA  =   3.

В пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­де SABC через вер­ши­ну C ниж­не­го ос­но­ва­ния про­ве­де­но се­че­ние, па­рал­лель­ное АВ. Се­че­ние пе­ре­се­ка­ет AS в точке M и SB в точке N. Пря­мая MN рав­но­уда­ле­на от пря­мой SC и плос­ко­сти АВС. Точка K  — се­ре­ди­на AB .

а)  До­ка­зать, что бис­сек­три­са CL тре­уголь­ни­ка KSC при­над­ле­жит плос­ко­сти се­че­ния.

б)  Найти от­но­ше­ние объ­е­мов мно­го­гран­ни­ков, на ко­то­рые плос­кость се­че­ния делит пи­ра­ми­ду, если АС  =  1 и AS  =  2.

В конус впи­сан ци­линдр так, что ниж­нее ос­но­ва­ние ци­лин­дра лежит на ос­но­ва­нии ко­ну­са, а окруж­ность верх­не­го ос­но­ва­ния при­над­ле­жит бо­ко­вой по­верх­но­сти ко­ну­са. Объем ко­ну­са равен 72.

а)  Найти объем ци­лин­дра, верх­нее ос­но­ва­ние ко­то­ро­го делит вы­со­ту ко­ну­са по­по­лам.

б)  Найти наи­боль­ший объем впи­сан­но­го ци­лин­дра.

В пря­мой тре­уголь­ной приз­ме АВСА’B’C’, где про­ве­де­но се­че­ние СМN па­рал­лель­но ребру АВ, ко­то­рое делит объем приз­мы по­по­лам (точка М лежит на АА', N  — на ВВ’).

а)  Найти от­но­ше­ние АМ : МА’.

б)  Найти тан­генс угла между плос­ко­стя­ми АВС и СMN.

Около сферы ра­ди­у­са R опи­са­на пра­виль­ная че­ты­рех­уголь­ная усе­чен­ная пи­ра­ми­да, сто­ро­на ниж­не­го ос­но­ва­ния ко­то­рой в 2 раза боль­ше сто­ро­ны верх­не­го ос­но­ва­ния. Най­ди­те:

а)  Пло­щадь бо­ко­вой грани пи­ра­ми­ды;

б)  Ми­ни­маль­но воз­мож­ную пло­щадь се­че­ния пи­ра­ми­ды плос­ко­стью, ко­то­рая про­хо­дит через диа­го­наль ниж­не­го ос­но­ва­ния и пе­ре­се­ка­ет верх­нее ос­но­ва­ние пи­ра­ми­ды.

В че­ты­рех­уголь­ной пи­ра­ми­де SABCD (че­ты­рех­уголь­ник в ос­но­ва­нии вы­пук­лый) бо­ко­вые ребра SA, SB и SC по­пар­но пер­пен­ди­ку­ляр­ны и имеют длину 3. Длина SD равна 9. Най­ди­те

а)  угол на­кло­на ребра SD к плос­ко­сти ос­но­ва­ния.

б)  наи­боль­шее воз­мож­ное при этих усло­ви­ях зна­че­ние объ­е­ма пи­ра­ми­ды SABCD.

В пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­де SABC точки M, N и K  — се­ре­ди­ны ребер ос­но­ва­ния, а P, Q и R делят бо­ко­вые ребра SA, SB и SC в от­но­ше­нии 1 : 2, счи­тая от вер­ши­ны.

а)  До­ка­зать, что точки M, N, K, P, Q, R  — лежат на одной сфере.

б)  При каких углах на­кло­на бо­ко­во­го ребра к ос­но­ва­нию центр сферы лежит вне пи­ра­ми­ды SABC.

Дана пра­виль­ная ше­сти­уголь­ная приз­ма

а)  До­ка­жи­те, что пря­мые СF и пер­пен­ди­ку­ляр­ны.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние между пря­мы­ми СF и если .

На про­дол­же­нии вы­со­ты PО пра­виль­ной че­ты­рех­уголь­ной пи­ра­ми­ды РАВСD от­ме­че­на точка К так, что ОР  =  ОК.

а)  До­ка­жи­те, что плос­ко­сти РВС и КАD па­рал­лель­ны.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние между плос­ко­стя­ми РВС и КАD, если

В ос­но­ва­нии пря­мой приз­мы лежит рав­но­бо­кая тра­пе­ция АВСD с ос­но­ва­ни­я­ми АD  =  30, ВС  =  12 и бо­ко­вой сто­ро­ной АВ  =  15. Через точки и С про­ве­де­на плос­кость β.

а)  До­ка­жи­те, что плос­кость β делит объем приз­мы в от­но­ше­нии 2 : 5.

б)  Най­ди­те объем пи­ра­ми­ды с вер­ши­ной в точке А, ос­но­ва­ни­ем ко­то­рой яв­ля­ет­ся се­че­ние приз­мы плос­ко­стью β, если из­вест­но, что

В пра­виль­ной че­ты­рех­уголь­ной приз­ме  АВ  =  ВС  =  8, Через точки А и С пер­пен­ди­ку­ляр­но про­ве­де­на плос­кость Ω.

а)  До­ка­жи­те, что плос­кость Ω пе­ре­се­ка­ет ребро  в такой точке М, что 

б)  Най­ди­те угол между плос­ко­стя­ми  Ω  и  

Дан куб

а)  До­ка­жи­те, что плос­кость делит диа­го­наль куба в от­но­ше­нии 1 : 2.

Б)  Най­ди­те объем пи­ра­ми­ды если из­вест­но, что ребро куба равно 2.

В ос­но­ва­нии пи­ра­ми­ды РАВС лежит рав­но­бед­рен­ный тре­уголь­ник АВС (АС  =  ВС). Все бо­ко­вые ребра пи­ра­ми­ды по­пар­но равны. Точка К  — се­ре­ди­на АВ. В эту пи­ра­ми­ду впи­са­на сфера.

а)  До­ка­жи­те, что точка ка­са­ния сферы с гра­нью АРВ лежит на пря­мой РК.

б)  Най­ди­те ра­ди­ус сферы, если из­вест­но, что АВ  =  6, ВС  =  5, КР  =  4.

В ко­ну­се с вер­ши­ной в точке Р вы­со­та равна 1, а об­ра­зу­ю­щая равна 2. В ос­но­ва­нии ко­ну­са про­ве­ли диа­метр CD и пер­пен­ди­ку­ляр­ную ему хорду АВ. Из­вест­но, что хорда АВ уда­ле­на от цен­тра ос­но­ва­ния на рас­сто­я­ние, рав­ное 1.

а)  До­ка­жи­те, что тре­уголь­ник РАВ пря­мо­уголь­ный.

б)  Най­ди­те сумму объ­е­мов пи­ра­мид САРВ и DАРВ.

Внут­ри куба рас­по­ло­же­ны два рав­ных шара, ка­са­ю­щих­ся друга. При этом один шар ка­са­ет­ся трех гра­ней куба, име­ю­щих общую вер­ши­ну, а дру­гой ка­са­ет­ся трех остав­ших­ся гра­ней.

а)  До­ка­жи­те, что цен­тры шаров при­над­ле­жат диа­го­на­ли куба, ис­хо­дя­щей из общей для гра­ней вер­ши­ны.

б)  Най­ди­те ра­ди­у­сы этих шаров, если ребро куба равно 13.

В одном ос­но­ва­нии пря­мо­го кру­го­во­го ци­лин­дра с вы­со­той 12 и ра­ди­у­сом ос­но­ва­ния 6 про­ве­де­на хорда AB, рав­ная ра­ди­у­су ос­но­ва­ния, а в дру­гом его ос­но­ва­нии про­ведён диа­метр CD, пер­пен­ди­ку­ляр­ный AB. По­стро­е­но се­че­ние ABNM, про­хо­дя­щее через пря­мую AB пер­пен­ди­ку­ляр­но пря­мой CD так, что точка C и центр ос­но­ва­ния ци­лин­дра, в ко­то­ром про­ведён диа­метр CD, лежат с одной сто­ро­ны от се­че­ния.

а)  До­ка­жи­те, что диа­го­на­ли этого се­че­ния равны между собой.

б)  Най­ди­те объём пи­ра­ми­ды CABNM.

В ко­ну­се с вер­ши­ной в точке Р вы­со­та РО  =   В его ос­но­ва­нии про­ве­де­на

хорда АВ, от­сто­я­щая от точки О на рас­сто­я­нии, рав­ном 3. Из­вест­но, что ра­ди­ус

ос­но­ва­ния ко­ну­са равен 5.

а)  До­ка­жи­те, что рас­сто­я­ние от точки Р до пря­мой АВ вдвое мень­ше длины от­рез­ка АВ.

б)  Най­ди­те ра­ди­ус сферы, опи­сан­ной около пи­ра­ми­ды РОАВ.

В ос­но­ва­нии пря­мой приз­мы лежит рав­но­бед­рен­ный тре­уголь­ник ABC, в ко­то­ром

а)  До­ка­жи­те, что объем пи­ра­ми­ды со­став­ля­ет объ­е­ма приз­мы.

б)  Най­ди­те ра­ди­ус сферы, опи­сан­ной около пи­ра­ми­ды если из­вест­но, что

В ос­но­ва­нии пря­мой приз­мы лежит пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник ABC с ги­по­те­ну­зой AB, при­чем Через точку пер­пен­ди­ку­ляр­но про­ве­де­на плос­кость α.

а)  До­ка­жи­те, что се­че­ни­ем приз­мы плос­ко­стью α яв­ля­ет­ся пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник.

б)  Най­ди­те объем боль­шей части приз­мы, на ко­то­рые ее делит плос­кость α, если из­вест­но, что

В пря­мо­уголь­ном па­рал­ле­ле­пи­пе­де на ребре от­ме­че­на точка K так, что Через точку K па­рал­лель­но про­ве­де­на плос­кость β.

а)  До­ка­жи­те, что плос­кость β пе­ре­се­ка­ет ребро CD в такой точке M, что

б)  Най­ди­те пло­щадь се­че­ния па­рал­ле­ле­пи­пе­да плос­ко­стью β, если из­вест­но, что

Дана че­ты­рех­уголь­ная пи­ра­ми­да SABCD с вер­ши­ной S и пря­мо­уголь­ни­ком ABCD в ос­но­ва­нии. Из­вест­но, что Из точки А на ребро SC опу­щен пер­пен­ди­ку­ляр АН.

а)  До­ка­жи­те, что

б)  Най­ди­те длину от­рез­ка HK, где K  — точка пе­ре­се­че­ния ребра SB плос­ко­стью, про­хо­дя­щей через точку H пер­пен­ди­ку­ляр­но ребру SB.

Ос­но­ва­ни­ем пи­ра­ми­ды FABCD яв­ля­ет­ся пря­мо­уголь­ник ABCD, а плос­кость AFC пер­пен­ди­ку­ляр­на плос­ко­сти ABC, тан­генс угла FAC равен тан­генс угла между пря­мой BC и плос­ко­стью AFC равен 2. Точка М лежит на ребре BC, Точка L лежит на пря­мой AF и рав­но­уда­ле­на от точек M и С. Центр сферы Ω, опи­сан­ной около пи­ра­ми­ды FABCD, лежит в плос­ко­сти ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды, ра­ди­ус этой сферы равен 4.

а)  Най­ди­те объем пи­ра­ми­ды LAMC.

б)  Най­ди­те длину той части ребра LC, ко­то­рая на­хо­дит­ся внут­ри сферы Ω.

В пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­де SABC ра­ди­ус опи­сан­ной сферы в три раза боль­ше ра­ди­у­са впи­сан­ной сферы.

а)  До­ка­жи­те, что SABC  — пра­виль­ный тет­ра­эдр.

б)  Плос­кость, про­хо­дя­щая через сто­ро­ну АВ и центр впи­сан­ной сферы, пе­ре­се­ка­ет ребро SC в точке L. Най­ди­те ра­ди­ус сферы, впи­сан­ной в пи­ра­ми­ду ABCL, если сто­ро­на ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды SABC равна 

Сфера еди­нич­но­го ра­ди­у­са впи­са­на в дву­гран­ный угол ве­ли­чи­ной 60°. В тот же угол впи­са­на сфера мень­ше­го ра­ди­у­са так, что она ка­са­ет­ся преды­ду­щей. Угол между пря­мой α, со­еди­ня­ю­щей цен­тры обеих сфер, и реб­ром дву­гран­но­го угла со­став­ля­ет 45°.

а)  По­строй­те плос­кость, про­хо­дя­щую через ребро дву­гран­но­го угла и пря­мую α.

б)  Най­ди­те ра­ди­ус мень­шей сферы.