Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип Д10 C2 № 521072
i

Ци­линдр и конус имеют общее ос­но­ва­ние, вер­ши­на ко­ну­са яв­ля­ет­ся цен­тром дру­го­го ос­но­ва­ния ци­лин­дра. Каж­дая об­ра­зу­ю­щая ко­ну­са на­кло­не­на к плос­ко­сти ос­но­ва­ния под углом 30°.

а)  До­ка­жи­те, что пло­ща­ди бо­ко­вых по­верх­но­стей ци­лин­дра и ко­ну­са равны 

б)  Най­ди­те ра­ди­ус сферы, ка­са­ю­щей­ся бо­ко­вых по­верх­но­стей ци­лин­дра и ко­ну­са, а так 

же  од­но­го  из  ос­но­ва­ний  ци­лин­дра,  если  из­вест­но,  что  объем  ко­ну­са  равен  левая круг­лая скоб­ка 6 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та плюс 10 пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на Пи

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  Пусть ра­ди­ус ос­но­ва­ния ци­лин­дра равен r, а вы­со­та h. Тогда тан­генс угла на­кло­на об­ра­зу­ю­щей есть дробь: чис­ли­тель: h, зна­ме­на­тель: r конец дроби , от­ку­да r= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та h и об­ра­зу­ю­щая ко­ну­са равна ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: h в квад­ра­те плюс r в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та =2h. Вы­чис­лим те­перь пло­ща­ди бо­ко­вой по­верх­но­сти ци­лин­дра и ко­ну­са. Это 2 Пи rh=2 Пи ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та h в квад­ра­те и Пи r l= Пи r умно­жить на 2h=2 Пи ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та h в квад­ра­те , что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

б)  Рас­смот­рим се­че­ние ци­лин­дра и ко­ну­са осе­вой плос­кость, про­хо­дя­щей через центр сферы. Все точки ка­са­ния будут ле­жать в этой плос­ко­сти. В се­че­нии по­лу­чим окруж­ность, впи­сан­ную в пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник со сто­ро­на­ми h, h ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , 2h, по­это­му ее ра­ди­ус равен

дробь: чис­ли­тель: h плюс h ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та минус 2h, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: h левая круг­лая скоб­ка ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби .

C дру­гой сто­ро­ны, как мы знаем,

V= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби Пи r в квад­ра­те h= Пи h в кубе = Пи левая круг­лая скоб­ка 10 плюс 6 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка ,

от­ку­да h= ко­рень 3 сте­пе­ни из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 10 плюс 6 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та конец ар­гу­мен­та =1 плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , по­это­му ис­ко­мый ра­ди­ус равен 1.

 

Ответ: б) 1.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ.2
Ре­ше­ние со­дер­жит обос­но­ван­ный пе­ре­ход к пла­ни­мет­ри­че­ской за­да­че, но по­лу­чен не­вер­ный ответ или ре­ше­ние не за­кон­че­но

ИЛИ

при пра­виль­ном от­ве­те ре­ше­ние не­до­ста­точ­но обос­но­ва­но.

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше.0
Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 172
Классификатор стереометрии: Ком­би­на­ции круг­лых тел, Конус, Пло­щадь по­верх­но­сти, Ци­линдр
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025