Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д10 C2 № 514052

В основании прямой призмы ABCA1B1C1 лежит равнобедренный треугольник ABC (AB = АС). Точка K — середина ребра B1C1

а) Докажите, что прямая AB1 параллельна плоскости CKA1

б) Найдите расстояние от прямой AB1 до плоскости CKA1, если известно, что CB = 6, CA = 5, CC1 = 12.

Спрятать решение

Решение.

а) В плоскости ABC проведем через A прямую, параллельную BC, а через C — прямую, перпендикулярную BC. Обозначим пересечение этих прямых за T. Очевидно, CT\parallel A_1K, поэтому точка T лежит в плоскости CKA_1.

Но также AT\parallel BC\parallel B_1K, AT= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби BC=B_1K, поэтому B_1KTA — параллелограмм, следовательно, B_1A\parallel KT, поэтому B_A\parallel A_1KC.

 

б) Имеем

d левая круглая скобка AB_1,CKA_1 правая круглая скобка =d левая круглая скобка A,CKT правая круглая скобка = дробь: числитель: 3V_CKAT, знаменатель: S_CKT конец дроби = дробь: числитель: d левая круглая скобка K,ATC правая круглая скобка умножить на S_CAT, знаменатель: S_CKT конец дроби = дробь: числитель: 12 умножить на 2S_CAT, знаменатель: 2S_CKT конец дроби = дробь: числитель: 12 умножить на AT умножить на TC, знаменатель: KC умножить на CT конец дроби

(поскольку KC\perp TC по теореме о трех перпендикулярах).

Значит,

d левая круглая скобка AB_1,CKA_1 правая круглая скобка = дробь: числитель: 12 умножить на AT, знаменатель: KC конец дроби = дробь: числитель: 6BC, знаменатель: корень из CC_1 в квадрате плюс C_1K в квадрате конец дроби = дробь: числитель: 36, знаменатель: корень из 153 конец дроби = дробь: числитель: 12, знаменатель: корень из 17 конец дроби .

Ответ:  дробь: числитель: 12, знаменатель: корень из 17 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Обоснованно получен верный ответ.2
Решение содержит обоснованный переход к планиметрической задаче, но получен неверный ответ или решение не закончено

ИЛИ

при правильном ответе решение недостаточно обосновано.

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.0
Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 152.