Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип Д10 C2 № 508087
i

Дана пра­виль­ная четырёхуголь­ная пи­ра­ми­да SABCD с вер­ши­ной S. На про­дол­же­нии ребра CD взята точка K так, что KD : KC  =  3 : 4. На ребре SC взята точка L так, что SL : LC = 2 : 1.

а)  По­строй­те плос­кость, про­хо­дя­щую точки K, B и L;

б)  В каком от­но­ше­нии эта плос­кость делит объём пи­ра­ми­ды?

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  Про­ве­дем пря­мую BK в плос­ко­сти ABCD и от­ме­тим точку T ее пе­ре­се­че­ния с AD. Про­ве­дем пря­мую LK в плос­ко­сти SCD и от­ме­тим точку Y ее пе­ре­се­че­ния с SD. Тогда BLYT  — ис­ко­мое се­че­ние.

б)  Уста­но­вим сна­ча­ла ме­сто­по­ло­же­ние точек T и Y. Из по­до­бия тре­уголь­ни­ков KTD и KBC сле­ду­ет, что TD:BC=3:4, от­ку­да AT:TD=1:3.

На­пи­шем тео­ре­му Ме­не­лая для тре­уголь­ни­ка CSD и пря­мой LYK. По­лу­чим

дробь: чис­ли­тель: CL, зна­ме­на­тель: LS конец дроби умно­жить на дробь: чис­ли­тель: SY, зна­ме­на­тель: YD конец дроби умно­жить на дробь: чис­ли­тель: DK, зна­ме­на­тель: KC конец дроби =1, дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на дробь: чис­ли­тель: SY, зна­ме­на­тель: YD конец дроби умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби =1,SY:YD=8:3.

Те­перь вы­чис­лим объем одной из ча­стей.

V_CBTDL= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби d левая круг­лая скоб­ка L,ABC пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на S_CBTD= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби умно­жить на d левая круг­лая скоб­ка S,ABC пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на левая круг­лая скоб­ка S_ABCD минус S_BAT пра­вая круг­лая скоб­ка =

 

= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 9 конец дроби умно­жить на d левая круг­лая скоб­ка S,ABC пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 7, зна­ме­на­тель: 8 конец дроби S_ABCD= дробь: чис­ли­тель: 7, зна­ме­на­тель: 24 конец дроби V_SABCD.

 

V_LTDY= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби умно­жить на d левая круг­лая скоб­ка L,DTY пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на S_DTY= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби d левая круг­лая скоб­ка C,DTY пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 11 конец дроби умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби умно­жить на S_DAS=

 

= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби d левая круг­лая скоб­ка C,SAD пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 22 конец дроби умно­жить на S_DAS= дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 22 конец дроби V_SACD= дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 44 конец дроби V_SABCD.

 

V_CLBTDY=V_CBTDL плюс V_LTDY= дробь: чис­ли­тель: 7, зна­ме­на­тель: 24 конец дроби V_SABCD плюс дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 44 конец дроби V_SABCD= дробь: чис­ли­тель: 95, зна­ме­на­тель: 264 конец дроби V_SABCD.

По­это­му V_CLBTDY:V_SLBATY=95:169.

 

Ответ: 95 : 169.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ.2
Ре­ше­ние со­дер­жит обос­но­ван­ный пе­ре­ход к пла­ни­мет­ри­че­ской за­да­че, но по­лу­чен не­вер­ный ответ или ре­ше­ние не за­кон­че­но

ИЛИ

при пра­виль­ном от­ве­те ре­ше­ние не­до­ста­точ­но обос­но­ва­но.

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше.0
Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 82
Классификатор стереометрии: Де­ле­ние от­рез­ка, Объем тела, По­стро­е­ния в про­стран­стве, Пра­виль­ная четырёхуголь­ная пи­ра­ми­да
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025