Внутри куба расположены два равных шара, касающихся друга. При этом один шар касается трех граней куба, имеющих общую вершину, а другой касается трех оставшихся граней.
а) Докажите, что центры шаров принадлежат диагонали куба, исходящей из общей для граней вершины.
б) Найдите радиусы этих шаров, если ребро куба равно 13.
а) Центр шара равноудален от трех плоскостей граней куба. Множество точек, равноудаленных от двух плоскостей — плоскость (биссектор двугранного угла). (на самом деле есть две такие плоскости, но нас сейчас интересуют только точки внутри куба). Поэтому нужное нам множество потенциальных центров — пересечение трех биссекторов, поэтому оно не может быть больше, чем прямая. Очевидно все точки диагонали куба подходят.
б) Пусть центры шаров 
лежат на 
а радиусы шаров 
Тогда 
откуда 
и 
Ответ: б) 