Сфера единичного радиуса вписана в двугранный угол величиной 60°. В тот же угол вписана сфера меньшего радиуса так, что она касается предыдущей. Угол между прямой α, соединяющей центры обеих сфер, и ребром двугранного угла составляет 45°.
а) Постройте плоскость, проходящую через ребро двугранного угла и прямую α.
б) Найдите радиус меньшей сферы.
а) Очевидно, центры шаров равноудалены от граней двугранного угла, поэтому лежат в его биссекторе. Построим тогда перпендикуляры к ребру угла из одной точки в наших плоскостях, а в плоскости, содержащей эти перпендикуляры, построим биссектрису линейного угла. Тогда плоскость, содержащая ее и ребро угла — искомая.
б) Обозначим центры сфер за 
и O, их проекции на ребро угла — за 
и A, точку пересечения 
и 
— за 
Тогда треугольник 
— прямоугольный с углом 
поэтому 
Пусть радиус меньшей сферы равен r, тогда 
С другой стороны, 
и 
откуда 
Ответ: 