Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д7 C2 № 505755

В прямой круговой конус вписан шар. Отношение площади полной поверхности конуса к площади поверхности шара равно 49 : 12. Найти отношение удвоенного объем шара к объему конуса.

Решение.

Пусть \Delta ABC — осевое сечение конуса, О — центр шара, вписанного в этот конус, E — точка касания шара и конуса.

Из условия задачи следует, что \Delta ABC — равнобедренный (AB = BC). Очевидно, что точка О лежит на биссектрисе BD\Delta ABC, которая также служит медианой и высотой \Delta ABC.

Введем обозначения:

l — образующая конуса (отрезки AB и BC); R — радиус основания конуса (отрезок AD); H — высота конуса (отрезок BD); r — радиус шара (отрезок OE); S_{ш.} — площадь сферы (площадь поверхности шара); {{S}_{к.}} — полная поверхность конуса; {{V}_{ш.}} — объем шара; {{V}_{к}} — объем конуса.

Очевидно, что OE\bot AB. Рассмотрим прямоугольные треугольники BEO и BDA с общим острым углом OBE. \Delta BDA\sim\Delta BEO. Отсюда:  дробь, числитель — OE, знаменатель — AD = дробь, числитель — OB, знаменатель — AB , т. е.

 дробь, числитель — r, знаменатель — R = дробь, числитель — H минус r, знаменатель — l ,rl=RH минус Rr,RH=r умножить на (l плюс R).

 

{{V}_{ш.}}= дробь, числитель — 1, знаменатель — 3 Пи {{R} в степени 2 }H= дробь, числитель — 1, знаменатель — 3 Пи R умножить на R умножить на H= дробь, числитель — 1, знаменатель — 3 Пи Rr(l плюс R), {{V}_{}}= дробь, числитель — 4, знаменатель — 3 Пи {{r} в степени 3 }.

Найдем отношение объема шара к объему конуса:

 дробь, числитель — {{V}_{ш.}}, знаменатель — {{V _{к.}}}= дробь, числитель — 4, знаменатель — 3 Пи {{r} в степени 3 }: дробь, числитель — 1, знаменатель — 3 Пи Rr(l плюс R)= дробь, числитель — 4{{r} в степени 2 }, знаменатель — R(l плюс R) .{{S}_{к.}}= Пи Rl плюс Пи {{R} в степени 2 }= Пи R(l плюс R),{{S}_{ш.}}=4 Пи {{r} в степени 2 }.

Теперь найдем отношение площади поверхности шара к площади полной поверхности конуса:

 дробь, числитель — {{S}_{ш.}}, знаменатель — {{S _{к.}}}=4 Пи {{r} в степени 2 }: Пи R(l плюс R)= дробь, числитель — 4{{r} в степени 2 }, знаменатель — R(l плюс R) .

Однако, оказалось, что  дробь, числитель — {{V}_{ш.}}, знаменатель — {{V _{к.}}}= дробь, числитель — {{S}_{ш.}}, знаменатель — {{S _{к.}}}. Значит,  дробь, числитель — {{V}_{ш.}}, знаменатель — {{V _{к.}}}= дробь, числитель — 12, знаменатель — 49 .

Поскольку нам требуется найти отношение удвоенного объема шара к объему заданного конуса, то таким отношением будет 24 : 49.

 

Ответ: 24 : 49.

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 67.
Классификатор стереометрии: Вписанный шар, Комбинации круглых тел, Конус, Объем тела, Шар