В прямой круговой конус вписан шар. Отношение площади полной поверхности конуса к площади поверхности шара равно 49 : 12. Найти отношение удвоенного объем шара к объему конуса.
Пусть
— осевое сечение конуса, О — центр шара, вписанного в этот конус, E — точка касания шара и конуса.
Из условия задачи следует, что — равнобедренный (AB = BC). Очевидно, что точка О лежит на биссектрисе 
которая также служит медианой и высотой 
Введем обозначения:
l — образующая конуса (отрезки AB и BC); R — радиус основания конуса (отрезок AD); H — высота конуса (отрезок BD); r — радиус шара (отрезок OE); 
— площадь сферы (площадь поверхности шара); 
— полная поверхность конуса; 
— объем шара; 
— объем конуса.
Очевидно, что 
Рассмотрим прямоугольные треугольники BEO и BDA с общим острым углом OBE. 
Отсюда: 
т. е.
Найдем отношение объема шара к объему конуса:
Теперь найдем отношение площади поверхности шара к площади полной поверхности конуса:
Однако, оказалось, что 
Значит, 
Поскольку нам требуется найти отношение удвоенного объема шара к объему заданного конуса, то таким отношением будет 24 : 49.
Ответ: 24 : 49.