Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна a. Боковое ребро образует с плоскостью основания угол 60°. Найдите радиус сферы, вписанной в пирамиду.
Пусть ABCP — данная правильная треугольная пирамида с вершиной P, AB = BC = AC = a, M — центр равностороннего треугольника ABC, L — середина BC, ∠PAM = ∠PBM = ∠PCM = 60°. Поскольку пирамида правильная, PM — её высота.
Из прямоугольного треугольника PAM находим, что
Поскольку PL ⊥ BC и ML ⊥ BC, угол PLM — линейный угол двугранного угла между плоскостью боковой грани BCP и плоскостью основания ABC. Из прямоугольного треугольника PLM находим, что
Центр O сферы, вписанной в правильную пирамиду ABCP лежит на её высоте PM, а так как эта сфера вписана в двугранный угол между плоскостями граней BCP и ABC, то точка O лежит в биссекторной плоскости этого угла.
Рассмотрим сечение пирамиды плоскостью APL. Получим треугольник APL и окружность, касающуюся двух его сторон LP и LA, причём стороны KC — в точке M. Радиус r этой окружности равен радиусу сферы, вписанной в пирамиду, центр O лежит на высоте PM, а 
Из прямоугольного треугольника OML находим, что
Поскольку 
имеем уравнение 
из которого находим, что
Следовательно,
Ответ: 