СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
Математика профильного уровня
Cайты, меню, вход, новости


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д7 C2 № 521204

Около сферы радиуса R описана правильная четырехугольная усеченная пирамида, сторона нижнего основания которой в 2 раза больше стороны верхнего основания. Найдите:

а) Площадь боковой грани пирамиды;

б) Минимально возможную площадь сечения пирамиды плоскостью, которая проходит через диагональ нижнего основания и пересекает верхнее основание пирамиды.

Решение.

а) Рассмотрим сечение этой пирамиды плоскость, содержащей точки касания с противоположными двумя боковыми гранями и высоту пирамиды (она разбивает пирамиду на два равных тела). В сечении будет равнобедренная трапеция, в которую вписана окружность. Если верхнее основание равно то нижнее тогда боковая сторона из-за вписанности и высота трапеции поэтому

Боковая грань — трапеция с основаниями и и высотой (боковое ребро предыдущего сечения), поэтому ее площадь:

б) Пусть сечение содержит и пересекает ребро в точке Тогда проведем прямую параллельно прямым и точка тоже будет лежать в сечении и, поскольку прямая параллельна прямой поэтому Обозначим эту длину за Тогда сечение — равнобедренная трапеция с основаниями и

Расстояние от до равно а расстояние от до равно поэтому расстояние от до равно Далее,

Значит, площадь трапеции равна:

при этом (крайние точки тоже можно брать, треугольник для рассматривается здесь как частный случай трапеции с нулевым основанием). Это выражение нужно минимизировать. Возьмем производную. Получим:

 

Поскольку производная всюду положительна, функция возрастает. Имеем:

 

 

Ответ: а) б)

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 188.
Классификатор стереометрии: Вписанный шар, Площадь сечения, Шар