В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 точка М лежит на ребре DD1 так, что DM : D1M = 1 : 2. Плоскость, проходящая через точки А и М параллельно ВD1, пересекает ребро СD в точке Р.
а) Докажите, что СР = DP.
б) Найдите расстояние от точки D1 до плоскости АМР, если известно, что АВ = 12, ВС = 9, АА1 = 36.
а) Проведем отрезок MQ параллельно 
точка Q лежит в плоскости ABCD (и, значит, на AP). Треугольники 
и 
подобны, поэтому 
Треугольники 
и 
также подобны (поскольку PD параллельна BA) и поэтому 
то есть 
— середина 
б) Введем координаты с началом в точке 
и осями, направленными по ребрам 
Тогда координаты точек будут такими: 
Уравнение плоскости 
можно составить в отрезках на осях — 
то есть 
По формуле для расстояния от точки до плоскости имеем
Ответ: б) 