Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д10 C2 № 515113

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 точка М лежит на ребре DD1 так,  что DM : D1M = 1 : 2. Плоскость, проходящая через точки  А и М параллельно ВD1, пересекает ребро СD в точке Р.  

а) Докажите, что СР = DP

б) Найдите расстояние от точки D1 до плоскости АМР, если известно, что АВ = 12, ВС = 9, АА1 = 36.

Спрятать решение

Решение.

а) Проведем отрезок MQ параллельно BD_1, точка Q лежит в плоскости ABCD (и, значит, на AP). Треугольники  BD_1D и  QMD подобны, поэтому  BQ:QD=2:1. Треугольники  BQA и  DQP также подобны (поскольку PD параллельна BA) и поэтому  BA:PD=BQ:QD=2:1, то есть  P — середина  CD.

 

б) Введем координаты с началом в точке  D и осями, направленными по ребрам  DC, DA, DD_1. Тогда координаты точек будут такими:  A левая круглая скобка 0,9,0 правая круглая скобка ; M левая круглая скобка 0,0,12 правая круглая скобка , P левая круглая скобка 6,0,0 правая круглая скобка , D_1 левая круглая скобка 0,0,36 правая круглая скобка . Уравнение плоскости  AMP можно составить в отрезках на осях —  дробь: числитель: x, знаменатель: 6 конец дроби плюс дробь: числитель: y, знаменатель: 9 конец дроби плюс дробь: числитель: z, знаменатель: 12 конец дроби минус 1=0, то есть  6x плюс 4y плюс 3z минус 36=0. По формуле для расстояния от точки до плоскости имеем

d левая круглая скобка D_1,AMP правая круглая скобка = дробь: числитель: \abs3 умножить на 36 минус 36, знаменатель: корень из 6 в квадрате плюс 4 в квадрате плюс 3 в квадрате конец дроби = дробь: числитель: 72, знаменатель: корень из 61 конец дроби .

Ответ: б)  дробь: числитель: 72, знаменатель: корень из 61 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Обоснованно получен верный ответ.2
Решение содержит обоснованный переход к планиметрической задаче, но получен неверный ответ или решение не закончено

ИЛИ

при правильном ответе решение недостаточно обосновано.

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.0
Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 166.