Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
В правильной треугольной пирамиде РАВС боковое ребро равно 5, а сторона основания равна 6. На продолжении ребра РА отмечена точка М так, что МА : МР = 9 : 16.
а) Докажите, что плоскости РВС и МВС перпендикулярны.
б) Найдите объем пирамиды МАВС.
Решение.
Спрятать критерии
а) Пусть 
тогда 
Очевидно, что 
поэтому 
Значит, перпендикуляры к BC, проведенные из P и M падают в середину BC — точку T.
Рассмотрим треугольник 
В нем 
Далее, 
и по теореме косинусов в треугольнике 
имеем:
Значит, 
и
Поскольку 
треугольник прямоугольный, откуда и следует перпендикулярность плоскостей.
б) Найдём объём пирамиды МАВС:
Ответ: б) 
Классификатор стереометрии: Деление отрезка, Объем тела, Перпендикулярность плоскостей, Правильная треугольная пирамида