Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д10 C2 № 515106

В правильной треугольной пирамиде РАВС боковое ребро равно 5, а сторона основания равна 6. На продолжении ребра РА отмечена точка М  так, что МА : МР = 9 : 16. 

а)  Докажите, что плоскости РВС и МВС перпендикулярны.  

б)  Найдите объем пирамиды МАВС.

Спрятать решение

Решение.

а)  Пусть MA=9x, MP=16x, тогда AP=7x, x= дробь: числитель: 5, знаменатель: 7 конец дроби . Очевидно, что \Delta MAC=\Delta MAB, поэтому MC=MB. Значит, перпендикуляры к BC, проведенные из P и M падают в середину BC  — точку T.

Рассмотрим треугольник MPT. В нем MP= дробь: числитель: 80, знаменатель: 7 конец дроби , PT= корень из PC в квадрате минус CT в квадрате =4. Далее, AT=3 корень из 3, и по теореме косинусов в треугольнике  PAT имеем:

16=25 плюс 27 минус 2 умножить на 5 умножить на 3 корень из 3 косинус \angle PAT равносильно косинус \angle PAT= дробь: числитель: 6, знаменатель: 5 корень из 3 конец дроби .

Значит,  косинус \angle MAT= минус дробь: числитель: 6, знаменатель: 5 корень из 3 конец дроби и

MT в квадрате = дробь: числитель: 45 в квадрате , знаменатель: 7 в квадрате конец дроби плюс 27 плюс 2 умножить на дробь: числитель: 45, знаменатель: 7 конец дроби умножить на 3 корень из 3 умножить на дробь: числитель: 6, знаменатель: 5 корень из 3 конец дроби = дробь: числитель: 2025 плюс 1323 плюс 2268, знаменатель: 49 конец дроби = дробь: числитель: 5616, знаменатель: 49 конец дроби .

Поскольку  4 в квадрате плюс дробь: числитель: 5616, знаменатель: 49 конец дроби = дробь: числитель: 6400, знаменатель: 49 конец дроби =MP в квадрате , треугольник прямоугольный, откуда и следует перпендикулярность плоскостей.

б)  Найдём объём пирамиды МАВС:

V_MABC= дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби d левая круглая скобка M, ABC правая круглая скобка умножить на S_ABC= дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби умножить на дробь: числитель: 9, знаменатель: 7 конец дроби d левая круглая скобка P, ABC правая круглая скобка умножить на дробь: числитель: 36 корень из 3, знаменатель: 4 конец дроби =
= дробь: числитель: 27 корень из 3, знаменатель: 7 конец дроби корень из PA в квадрате минус дробь: числитель: 4, знаменатель: 9 конец дроби AT в квадрате = дробь: числитель: 27 корень из 3, знаменатель: 7 конец дроби корень из 13= дробь: числитель: 27 корень из 39, знаменатель: 7 конец дроби .

Ответ: б)  дробь: числитель: 27 корень из 39, знаменатель: 7 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Обоснованно получен верный ответ.2
Решение содержит обоснованный переход к планиметрической задаче, но получен неверный ответ или решение не закончено

ИЛИ

при правильном ответе решение недостаточно обосновано.

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.0
Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 165.