В правильной пирамиде PABC точки Е, F, K, M, N — середины ребер АС, ВС, РА, РВ и РС соответственно.
А) Докажите, что объем пирамиды NEFMK составляет четверть объема пирамиды PABC.
Б) Найдите радиус сферы, проходящей через точки N, Е, F, M, K, если известно, что АВ = 8, АР = 6.
а) Выразим формулу объёма пирамиды NEFMK из объёма пирамиды PABC:
(
поскольку плоскость 
делит высоту пирамиды пополам и параллельна плоскости основания).
б) Пусть 
— середина 
Тогда 
— оба они подобны 
с коэффициентом 
Следовательно, они оба равносторонние. Центр сферы будет лежать на высоте пирамиды, которая равна
Поскольку 
равны и их радиусы описанных окружностей. Они равны 
А центр сферы лежит посредине между плоскостями этих треугольников. Поэтому расстояние от него до плоскостей равно 
и тогда радиус сферы равен 
Ответ: б) 