Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип Д10 C2 № 505797
i

Пра­виль­ная тре­уголь­ная приз­ма ABCA1B1C1 опи­са­на около шара ра­ди­у­са 1. Пусть M  — се­ре­ди­на ребра BB1 и N  —  се­ре­ди­на ребра СС1. В шар впи­сан пря­мой кру­го­вой ци­линдр так, что его ос­но­ва­ние лежит в плос­ко­сти AMN. Най­ди­те объём этого ци­лин­дра.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Обо­зна­чим за K се­ре­ди­ну ребра AA_1.

За­ме­тим, что AA_1=2R=2, а се­че­ние плос­ко­стью MNK  — рав­но­сто­рон­ний тре­уголь­ник, у ко­то­ро­го ра­ди­ус впи­сан­ной окруж­но­сти равен 1, от­ку­да его сто­ро­на равна 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та . Итак, MN=BC=2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та .

Най­дем те­перь рас­сто­я­ние от цен­тра шара (точки O) до плос­ко­сти AMN (это будет по­ло­ви­на вы­со­ты ци­лин­дра).

d левая круг­лая скоб­ка O,AMN пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: 3V_OAMN, зна­ме­на­тель: S_AMN конец дроби = дробь: чис­ли­тель: d левая круг­лая скоб­ка A,OMN пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на S_OMN, зна­ме­на­тель: S_AMN конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 1 умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби S_KMN, зна­ме­на­тель: S_AMN конец дроби = дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби MN умно­жить на d левая круг­лая скоб­ка A,MN пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби .

Оче­вид­но, тре­уголь­ник AMN  — рав­но­бед­рен­ный, по­это­му вы­со­та его сов­па­да­ет с ме­ди­а­ной и равна

ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: AN в квад­ра­те минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби MN в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: AC в квад­ра­те плюс CN в квад­ра­те минус 3 конец ар­гу­мен­та = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 12 плюс 1 минус 3 конец ар­гу­мен­та = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 10 конец ар­гу­мен­та .

Итак, d левая круг­лая скоб­ка O,AMN пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 10 конец ар­гу­мен­та конец дроби .

Рас­смот­рим се­че­ние шара ра­ди­у­са 1 плос­ко­стью, про­хо­дя­щей на рас­сто­я­нии дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 10 конец ар­гу­мен­та конец дроби от его цен­тра. Она вы­се­ка­ет круг ра­ди­у­са ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 1 минус 0,1 конец ар­гу­мен­та = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 0,9 конец ар­гу­мен­та .

Тогда объем ци­лин­дра равен Пи умно­жить на 0,9 умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 10 конец ар­гу­мен­та конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 9 Пи , зна­ме­на­тель: 5 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 10 конец ар­гу­мен­та конец дроби .

 

Ответ: дробь: чис­ли­тель: 9 Пи , зна­ме­на­тель: 5 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 10 конец ар­гу­мен­та конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ.2
Ре­ше­ние со­дер­жит обос­но­ван­ный пе­ре­ход к пла­ни­мет­ри­че­ской за­да­че, но по­лу­чен не­вер­ный ответ или ре­ше­ние не за­кон­че­но

ИЛИ

при пра­виль­ном от­ве­те ре­ше­ние не­до­ста­точ­но обос­но­ва­но.

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше.0

Аналоги к заданию № 505797: 689041 Все

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 74
Классификатор стереометрии: Объем тела, Пра­виль­ная тре­уголь­ная приз­ма, Ци­линдр, Шар
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025