СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
≡ математика
сайты - меню - вход - новости


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д7 C2 № 505809

Основанием пирамиды является ромб со стороной 2, а его острый угол равен 45 градусов. Шар, радиус которого равен , касается плоскостей каждой боковой грани пирамиды в точке, лежащей на тороне основания пирамиды. Найти объём пирамиды.

Решение.

Пусть O — центр шара, H — его проекция на ABCD. Тогда все перпендикуляры из O на стороны ромба падают туда же, куда и перпендикуляры из H. Значит, все перпендикуляры из H равны, поэтому H — центр вписанной окружности ромба, то есть его точка пересечения диагоналей.

Найдем радиус этой окружности по формуле Тогда

Пусть S — вершина пирамиды, а — основания перпендикуляров из H на ребра основания.

Поскольку перпендикуляры к ребрам являются также перпендикулярами к граням, треугольники — прямоугольные и равны по гипотенузе и катету. То есть поэтому проекцией S на плоскость основания также является точка H. Пусть тогда Напишем теперь теорему Пифагора для треугольника : откуда и объем пирамиды равен

 

Ответ:

Классификатор стереометрии: Вписанный шар, Объем тела, Четырехугольная пирамида, Шар