Пусть O  — центр шара, H  — его про­ек­ция на ABCD. Тогда все пер­пен­ди­ку­ля­ры из O на сто­ро­ны ромба па­да­ют туда же, куда и пер­пен­ди­ку­ля­ры из H. Зна­чит, все пер­пен­ди­ку­ля­ры из H равны, по­это­му H  — центр впи­сан­ной окруж­но­сти ромба, то есть его точка пе­ре­се­че­ния диа­го­на­лей.

Най­дем ра­ди­ус этой окруж­но­сти по фор­му­ле Тогда

Пусть S  — вер­ши­на пи­ра­ми­ды, а   — ос­но­ва­ния пер­пен­ди­ку­ля­ров из H на ребра ос­но­ва­ния.

По­сколь­ку пер­пен­ди­ку­ля­ры к реб­рам яв­ля­ют­ся также пер­пен­ди­ку­ля­ра­ми к гра­ням, тре­уголь­ни­ки   — пря­мо­уголь­ные и равны по ги­по­те­ну­зе и ка­те­ту. То есть по­это­му про­ек­ци­ей S на плос­кость ос­но­ва­ния также яв­ля­ет­ся точка H. Пусть тогда На­пи­шем те­перь тео­ре­му Пи­фа­го­ра для тре­уголь­ни­ка : от­ку­да и объем пи­ра­ми­ды равен

Ответ: