Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д10 C2 № 505653

В усеченный конус, образующая которого наклонена под углом 45 градусов к нижнему основанию, вписан шар. Найти отношение величины боковой поверхности усеченного конуса к величине поверхности шара.

Спрятать решение

Решение.

Рассмотрим осевое сечение конуса. В нем получится трапеция ABCD, \angle A=\angle D=45 градусов, в которую вписана окружность. Проведем высоты BG и CH из точек B и C. Тогда

AG=BG=CH=HD, AB=CD= корень из 2BG,

кроме того из описанности

2AB=AB плюс CD=AD плюс BC=AG плюс GH плюс HD плюс BC=2AG плюс 2BC,

поэтому

BC=AB минус AG= левая круглая скобка корень из 2 минус 1 правая круглая скобка AG, AD=BC плюс 2AG= левая круглая скобка корень из 2 плюс 1 правая круглая скобка AG.

Радиус окружности (он же радиус вписанной в конус сферы) равен  дробь: числитель: AG, знаменатель: 2 конец дроби . Тогда площадь сферы составляет  Пи AG в квадрате .

Достроим теперь усеченный конус до конуса. Трапеция при этом достроится до треугольника, он будет прямоугольный и равнобедренный, поэтому его катеты составят  дробь: числитель: корень из 2 плюс 1, знаменатель: корень из 2 конец дроби AG. Это образующая конуса. Из нее

 дробь: числитель: корень из 2 плюс 1, знаменатель: корень из 2 конец дроби AG минус корень из 2AG= дробь: числитель: корень из 2 минус 1, знаменатель: корень из 2 конец дроби AG  — добавленный кусок.

Поэтому площадь боковой поверхности усеченного конуса будет

 дробь: числитель: Пи левая круглая скобка корень из 2 плюс 1 правая круглая скобка в квадрате минус Пи левая круглая скобка корень из 2 минус 1 правая круглая скобка в квадрате , знаменатель: 2 корень из 2 конец дроби AG в квадрате =2 Пи AG в квадрате

Поэтому искомое отношение равно 2.

 

Ответ: 2.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Обоснованно получен верный ответ.2
Решение содержит обоснованный переход к планиметрической задаче, но получен неверный ответ или решение не закончено

ИЛИ

при правильном ответе решение недостаточно обосновано.

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.0
Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 50.
Классификатор стереометрии: Комбинации круглых тел, Усеченный конус, Шар