В усеченный конус, образующая которого наклонена под углом 45 градусов к нижнему основанию, вписан шар. Найти отношение величины боковой поверхности усеченного конуса к величине поверхности шара.
Рассмотрим осевое сечение конуса. В нем получится трапеция ABCD, 
в которую вписана окружность. Проведем высоты BG и CH из точек B и C. Тогда
кроме того из описанности
поэтому
Радиус окружности (он же радиус вписанной в конус сферы) равен 
Тогда площадь сферы составляет 
Достроим теперь усеченный конус до конуса. Трапеция при этом достроится до треугольника, он будет прямоугольный и равнобедренный, поэтому его катеты составят 
Это образующая конуса. Из нее
— добавленный кусок.
Поэтому площадь боковой поверхности усеченного конуса будет
Поэтому искомое отношение равно 2.
Ответ: 2.