Дано урав­не­ние

а)  Ре­ши­те урав­не­ние.

б)  Най­ди­те корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

В ко­ну­се с вер­ши­ной в точке Р вы­со­та РО  =   В его ос­но­ва­нии про­ве­де­на

хорда АВ, от­сто­я­щая от точки О на рас­сто­я­нии, рав­ном 3. Из­вест­но, что ра­ди­ус

ос­но­ва­ния ко­ну­са равен 5.

а)  До­ка­жи­те, что рас­сто­я­ние от точки Р до пря­мой АВ вдвое мень­ше длины от­рез­ка АВ.

б)  Най­ди­те ра­ди­ус сферы, опи­сан­ной около пи­ра­ми­ды РОАВ.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство:

В ост­ро­уголь­ном тре­уголь­ни­ке АВС вы­со­ты пе­ре­се­ка­ют­ся в точке Н, точка О  — центр опи­сан­ной окруж­но­сти, точка К  — се­ре­ди­на ВС.

а)  До­ка­жи­те, что от­ре­зок АН вдвое длин­нее от­рез­ка ОК.

б)  Най­ди­те длину от­рез­ка ОН, если из­вест­но, что АВ  =  5, ВС  =  6, АС  =  7.

В 2016 году в НИИ «На­но­мир» ра­бо­та­ли 20 со­труд­ни­ков: ди­рек­тор, пять его за­ме­сти­те­лей, 12 ин­же­не­ров и две убор­щи­цы. Сред­не­ме­сяч­ная зар­пла­та ди­рек­то­ра со­став­ля­ла 500 тыс. руб., зама  — 200 тыс. руб., ин­же­не­ра 50 тыс. руб., убор­щи­цы  — 25 тыс. руб.

С 1 ян­ва­ря 2017 года 4 ин­же­не­ра ушли на за­слу­жен­ный отдых. Чтобы со­хра­нить сред­нюю зар­пла­ту по НИИ на уров­не про­шло­го года, ди­рек­тор решил из­ме­нить зар­пла­ту толь­ко у своих замов.

В конце 2017 года не­ожи­дан­но вы­яс­ни­лось, что го­до­вой фонд за­ра­бот­ной платы НИИ, сфор­ми­ро­ван­ный в объ­е­ме про­шло­го года, ока­зал­ся вы­бран не пол­но­стью. В связи с этим все остав­ши­е­ся на счету фонда день­ги ди­рек­тор пе­ре­чис­лил себе в ка­че­стве пре­мии.

Опре­де­ли­те:

а)  сред­нюю зар­пла­ту по НИИ в 2017 году;

б)  на сколь­ко % из­ме­ни­лась (уве­ли­чи­лась или умень­ши­лась) зар­пла­та за­ме­сти­те­лей ди­рек­то­ра НИИ в 2017 году;

в)  раз­мер пре­мии, по­лу­чен­ной ди­рек­то­ром НИИ в конце 2017 года.

Най­ди­те все зна­че­ния а, при каж­дом из ко­то­рых урав­не­ние

имеет ровно два корня.

В ряду чисел 3 * 4 * 5 * 6 * 12 * 13 * 14 * 15 на месте каж­дой звез­доч­ки по­ста­ви­ли знак сло­же­ния или вы­чи­та­ния (по сво­е­му усмот­ре­нию) и под­счи­та­ли ре­зуль­тат.

а)  Могло ли в ре­зуль­та­те вы­чис­ле­ния по­лу­чить­ся число 9?

б)  Какое наи­мень­шее на­ту­раль­ное число могло по­лу­чить­ся в ре­зуль­та­те вы­чис­ле­ния?

в)  В ряду чисел 3 * 4 * 5 * 6 * 12 * 13 * 14 * 15 на месте каж­дой звез­доч­ки по­ста­ви­ли знак умно­же­ния или де­ле­ния (по сво­е­му усмот­ре­нию) и под­счи­та­ли ре­зуль­тат. Какое наи­мень­шее на­ту­раль­ное число могло по­лу­чить­ся в ре­зуль­та­те вы­чис­ле­ния?