а)  По­ме­стим за­дан­ный куб в де­кар­то­ву си­сте­му ко­ор­ди­нат, как по­ка­за­но на ри­су­нок 1.

Пусть M – се­ре­ди­на ребра AB, N  — се­ре­ди­на BC, P  — се­ре­ди­на CC₁. И пусть ребро куба равно Тогда: Со­ста­вим урав­не­ние се­ку­щей плос­ко­сти.

Из пер­вых двух урав­не­ний си­сте­мы:

Ис­ко­мое урав­не­ние имеет вид:

Най­дем ор­ди­на­ту Q, точки пе­ре­се­че­ния се­ку­щей плос­ко­сти αи ребра D₁C₁.

При абс­цис­са R, точки пе­ре­се­че­ния α и ребра A₁D₁, при ап­пли­ка­та S, точки пе­ре­се­че­ния α и ребра A₁A, при

Ше­сти­уголь­ник MNPQRS  — ис­ко­мое се­че­ние.

б)  Най­дем ко­си­нус угла φ между плос­ко­стью α и ниж­ним ос­но­ва­ни­ем куба. (урав­не­ние по­след­не­го имеет вид: z  =  0).

Нор­маль­ный век­тор плос­ко­сти α: нор­маль­ный век­тор ниж­не­го ос­но­ва­ния куба

Про­ек­ция се­че­ния на ниж­нее ос­но­ва­ние куба  — ше­сти­уголь­ник M₁N₁CQ₁R₁A, пло­щадь ко­то­ро­го равен

(ри­су­нок 2).

Ответ: б)