Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д7 C2 № 521243

В основании прямой призмы ABCDA_1B_1C_1D_1 лежит равнобокая трапеция АВСD с основаниями АD = 30, ВС = 12 и боковой стороной АВ = 15. Через точки A_1, B_1 и С проведена плоскость β.

а) Докажите, что плоскость β делит объем призмы в отношении 2 : 5.

б) Найдите объем пирамиды с вершиной в точке А, основанием которой является сечение призмы плоскостью β, если известно, что CC_1=16.

Решение.

а) Отметим на AD точку T так, чтобы прямая CT была параллельной прямым AB и A_1B_1. Эта точка тоже лежит в плоскости сечения и сечение — четырехугольник B_1CTA_1, Поскольку прямая B_1C параллельна прямой A_1T (пересечение плоскости с двумя параллельными плоскостями), тело A_1ATB_1BC — наклонная призма с основанием A_1AT и высотой, равной расстоянию между плоскостями, то есть высоте трапеции:

 корень из { 15 в степени 2 минус дробь, числитель — 1, знаменатель — 4 (30 минус 12) в степени 2 }=12.

Тогда

V_{A_1ATB_1BC}=12 умножить на дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 AA_1 умножить на AT=6AA_1 умножить на BC=72 AA_1,

а объем всей исходной призмы равен

 дробь, числитель — 30 плюс 12, знаменатель — 2 умножить на 12 умножить на AA_1=252AA_1.

Значит, объем другой части равен (252 минус 72)AA_1=180AA_1 и отношение объемов 72:180=2:5, что и требовалось доказать.

б) Имеем:

V_{AA_1B_1CT}=V_{AA_1TC} плюс V_{AA_1B_1C}= дробь, числитель — 1, знаменатель — 3 V_{A_1ATB_1BC} плюс дробь, числитель — 1, знаменатель — 3 d(C,ABB_1) умножить на S_{ABB_1}=

 

= дробь, числитель — 1, знаменатель — 3 умножить на 72AA_1 плюс дробь, числитель — 1, знаменатель — 3 d(T,AB) умножить на дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 AA_1 умножить на A_1B_1=

 

=24 умножить на 16 плюс дробь, числитель — 1, знаменатель — 3 умножить на дробь, числитель — 2S_{TAB}, знаменатель — AB умножить на 8 умножить на AB= 384 плюс дробь, числитель — 1, знаменатель — 3 умножить на 16 S_{TAB}=

 

=432 плюс дробь, числитель — 1, знаменатель — 3 умножить на 16 умножить на дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 AT умножить на d(B,AT)=

 

= 384 плюс дробь, числитель — 1, знаменатель — 3 умножить на 8 умножить на 12 умножить на 12= 384 плюс 4 умножить на 8 умножить на 12=768.

Ответ: 768.

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 193.
Классификатор стереометрии: Объем как сумма объемов частей, Объем тела, Прямая призма, Сечение, проходящее через три точки