Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д10 C2 № 521243

В основании прямой призмы ABCDA_1B_1C_1D_1 лежит равнобокая трапеция АВСD с основаниями АD = 30, ВС = 12 и боковой стороной АВ = 15. Через точки A_1, B_1 и С проведена плоскость β.

а) Докажите, что плоскость β делит объем призмы в отношении 2 : 5.

б) Найдите объем пирамиды с вершиной в точке А, основанием которой является сечение призмы плоскостью β, если известно, что CC_1=16.

Спрятать решение

Решение.

а) Отметим на AD точку T так, чтобы прямая CT была параллельной прямым AB и A_1B_1. Эта точка тоже лежит в плоскости сечения и сечение — четырехугольник B_1CTA_1, Поскольку прямая B_1C параллельна прямой A_1T (пересечение плоскости с двумя параллельными плоскостями), тело A_1ATB_1BC — наклонная призма с основанием A_1AT и высотой, равной расстоянию между плоскостями, то есть высоте трапеции:

 корень из 15 в квадрате минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби левая круглая скобка 30 минус 12 правая круглая скобка в квадрате =12.

Тогда

V_A_1ATB_1BC=12 умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби AA_1 умножить на AT=6AA_1 умножить на BC=72 AA_1,

а объем всей исходной призмы равен

 дробь: числитель: 30 плюс 12, знаменатель: 2 конец дроби умножить на 12 умножить на AA_1=252AA_1.

Значит, объем другой части равен  левая круглая скобка 252 минус 72 правая круглая скобка AA_1=180AA_1 и отношение объемов 72:180=2:5, что и требовалось доказать.

б) Имеем:

V_AA_1B_1CT=V_AA_1TC плюс V_AA_1B_1C= дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби V_A_1ATB_1BC плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби d левая круглая скобка C,ABB_1 правая круглая скобка умножить на S_ABB_1=

 

= дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби умножить на 72AA_1 плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби d левая круглая скобка T,AB правая круглая скобка умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби AA_1 умножить на A_1B_1=

 

=24 умножить на 16 плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби умножить на дробь: числитель: 2S_TAB, знаменатель: AB конец дроби умножить на 8 умножить на AB= 384 плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби умножить на 16 S_TAB=

 

=432 плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби умножить на 16 умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби AT умножить на d левая круглая скобка B,AT правая круглая скобка =

 

= 384 плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби умножить на 8 умножить на 12 умножить на 12= 384 плюс 4 умножить на 8 умножить на 12=768.

Ответ: 768.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Обоснованно получен верный ответ.2
Решение содержит обоснованный переход к планиметрической задаче, но получен неверный ответ или решение не закончено

ИЛИ

при правильном ответе решение недостаточно обосновано.

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.0
Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 193.