Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д7 C2 № 521196

В прямой треугольной призме АВСА’B’C’, где AB=6; AC=7; CB=5; AA’=8, проведено сечение СМN параллельно ребру АВ, которое делит объем призмы пополам (точка М лежит на АА', N — на ВВ’).

а) Найти отношение АМ : МА’.

б) Найти тангенс угла между плоскостями АВС и СMN.

Решение.

а) Объем призмы равен AA_1 умножить на S_{ABC}. C другой стороны:

V_{CAMNB}= дробь, числитель — 1, знаменатель — 3 S_{AMNB} умножить на d(C,AMNB)=

 

= дробь, числитель — 1, знаменатель — 3 умножить на MA умножить на AB умножить на d(C,AB)= дробь, числитель — 2, знаменатель — 3 MA умножить на дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 AB умножить на d(C,AB)= дробь, числитель — 2, знаменатель — 3 MA умножить на S_{ABC}.

Итак, нужно чтобы  дробь, числитель — 2, знаменатель — 3 MA= дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 AA_1, MA= дробь, числитель — 3, знаменатель — 4 AA_1, AM:MA_1=3:1.

б) Имеем:

S_{ABC}= корень из { 9 умножить на 2 умножить на 3 умножить на 4}=6 корень из { 6}

по формуле Герона, поэтому:

d(C,AB)= дробь, числитель — 12 корень из { 6}, знаменатель — AB =2 корень из { 6}.

Проведем высоту CH треугольника CAB. Построим перпендикуляр HH_1 к прямой MN. Тогда прямая CH_1 перпендикулярна прямой AB по теореме о трех перпендикулярах. Значит, угол между плоскостями равен углу между H_1C и HC — они обе перпендикулярны AB, а прямая пересечения этих плоскостей параллельна AB. Имеем:

 тангенс \angle H_1CH= дробь, числитель — HH_1, знаменатель — CH = дробь, числитель — дробь, числитель — 3, знаменатель — 4 AA_1, знаменатель — 2 корень из { 6 }= дробь, числитель — корень из { 6}, знаменатель — 2 .

 

Ответ: а) 3:1 б)  дробь, числитель — корень из { 6}, знаменатель — 2 .

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 187.
Методы геометрии: Теорема о трёх перпендикулярах
Классификатор стереометрии: Деление отрезка, Прямая треугольная призма, Сечение, параллельное или перпендикулярное прямой, Угол между плоскостями