Задания
Версия для печати и копирования в MS Word

В пря­мой тре­уголь­ной приз­ме АВСА’B’C’, где AB=6; AC=7; CB=5; AA’=8, про­ве­де­но се­че­ние СМN па­рал­лель­но ребру АВ, ко­то­рое делит объем приз­мы по­по­лам (точка М лежит на АА', N  — на ВВ’).

а)  Найти от­но­ше­ние АМ : МА’.

б)  Найти тан­генс угла между плос­ко­стя­ми АВС и СMN.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  Объем приз­мы равен AA_1 умно­жить на S_ABC. C дру­гой сто­ро­ны:

V_CAMNB= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби S_AMNB умно­жить на d левая круг­лая скоб­ка C,AMNB пра­вая круг­лая скоб­ка =

 

= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби умно­жить на MA умно­жить на AB умно­жить на d левая круг­лая скоб­ка C,AB пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби MA умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби AB умно­жить на d левая круг­лая скоб­ка C,AB пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби MA умно­жить на S_ABC.

Итак, нужно чтобы дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби MA= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби AA_1, MA= дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби AA_1, AM:MA_1=3:1.

б)  Имеем:

S_ABC= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 9 умно­жить на 2 умно­жить на 3 умно­жить на 4 конец ар­гу­мен­та =6 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 6 конец ар­гу­мен­та

по фор­му­ле Ге­ро­на, по­это­му:

d левая круг­лая скоб­ка C,AB пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: 12 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 6 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: AB конец дроби =2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 6 конец ар­гу­мен­та .

Про­ве­дем вы­со­ту CH тре­уголь­ни­ка CAB. По­стро­им пер­пен­ди­ку­ляр HH_1 к пря­мой MN. Тогда пря­мая CH_1 пер­пен­ди­ку­ляр­на пря­мой AB по тео­ре­ме о трех пер­пен­ди­ку­ля­рах. Зна­чит, угол между плос­ко­стя­ми равен углу между H_1C и HC  — они обе пер­пен­ди­ку­ляр­ны AB, а пря­мая пе­ре­се­че­ния этих плос­ко­стей па­рал­лель­на AB. Имеем:

тан­генс \angle H_1CH= дробь: чис­ли­тель: HH_1, зна­ме­на­тель: CH конец дроби = дробь: чис­ли­тель: дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби AA_1, зна­ме­на­тель: 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 6 конец ар­гу­мен­та конец дроби = дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 6 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби .

 

Ответ: а) 3:1 б) дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 6 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ.2
Ре­ше­ние со­дер­жит обос­но­ван­ный пе­ре­ход к пла­ни­мет­ри­че­ской за­да­че, но по­лу­чен не­вер­ный ответ или ре­ше­ние не за­кон­че­но

ИЛИ

при пра­виль­ном от­ве­те ре­ше­ние не­до­ста­точ­но обос­но­ва­но.

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше.0
Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 187
Методы геометрии: Тео­ре­ма о трёх пер­пен­ди­ку­ля­рах
Классификатор стереометрии: Де­ле­ние от­рез­ка, Пря­мая тре­уголь­ная приз­ма, Се­че­ние, па­рал­лель­ное или пер­пен­ди­ку­ляр­ное пря­мой, Угол между плос­ко­стя­ми
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025