Дано урав­не­ние

а)  Ре­ши­те урав­не­ние.

б)  Най­ди­те его корни, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

В пря­мо­уголь­ном па­рал­ле­ле­пи­пе­де ABCDA₁B₁C₁D₁ AB  =  3, AA₁  =  4, AD  =  5.

а)  До­ка­жи­те, что точки B, C₁, D и A₁ не лежат в одной плос­ко­сти.

б)  Най­ди­те объем мно­го­гран­ни­ка с вер­ши­на­ми в точ­ках B, C₁, D и A₁.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство:

В вы­пук­лом че­ты­рех­уголь­ни­ке ABCD диа­го­на­ли AC и BD пе­ре­се­ка­ют­ся в точке О. Пло­ща­ди тре­уголь­ни­ков AOB и COD равны.

а)  До­ка­жи­те, что точки A и D оди­на­ко­во уда­ле­ны от пря­мой ВС.

б)  Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка AOB, если из­вест­но, что AB  =  13, BC  =  10, CD  =  15, DA  =  24.

Три за­во­да вы­пус­ка­ют оди­на­ко­вую про­дук­цию. Из­вест­но, что еже­год­ный объём про­дук­ции на пер­вом за­во­де со­став­ля­ет треть от суммы еже­год­ных объёмов про­дук­ции на вто­ром и тре­тьем за­во­дах, а объём про­дук­ции на вто­ром за­во­де со­став­ля­ет вось­мую часть от суммы еже­год­ных объёмов на пер­вом и тре­тьем за­во­дах. Най­ди­те от­но­ше­ние суммы еже­год­ных объёмов про­дук­ции, вы­пус­ка­е­мых на пер­вом и вто­ром за­во­дах, к еже­год­но­му объёму про­дук­ции, вы­пус­ка­е­мой на тре­тьем за­во­де.

Най­ди­те все зна­че­ния а, при каж­дом из ко­то­рых си­сте­ма

имеет ровно одно ре­ше­ние.

Про на­ту­раль­ные числа а, b и c из­вест­но, что

а)  Может ли сумм чисел a и b рав­нять­ся числу c?

б)  Может ли про­из­ве­де­ние чисел а и с рав­нять­ся квад­ра­ту числа b?

в)  Най­ди­те наи­мень­шее из воз­мож­ных зна­че­ний вы­ра­же­ния