а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Най­ди­те все корни на про­ме­жут­ке

Плос­кость, про­ве­ден­ная через центр шара, впи­сан­но­го в конус, па­рал­лель­на плос­ко­сти ос­но­ва­ния ко­ну­са, делит объем ко­ну­са по­по­лам. Найти угол при вер­ши­не осе­во­го се­че­ния ко­ну­са.

Ре­ши­те си­сте­му не­ра­венств

Через вер­ши­ны A и B тре­уголь­ни­ка ABC про­ве­де­на окруж­ность, ка­са­ю­ща­я­ся пря­мой BC, а через вер­ши­ны B и C  — дру­гая окруж­ность, ка­са­ю­ща­я­ся пря­мой AB. Про­дол­же­ние общей хорды BD этих окруж­но­стей пе­ре­се­ка­ет от­ре­зок AC в точке E, а про­дол­же­ние хорды AD одной окруж­но­сти пе­ре­се­ка­ет дру­гую окруж­ность в точке F.

а)  До­ка­зать, что пло­ща­ди тре­уголь­ни­ков ABC и ABF равны.

б)  Найти от­но­ше­ние AE : EC, если AB = 5 и BC = 9.

Найти все зна­че­ния па­ра­мет­ра a, при каж­дом из ко­то­рых об­ласть зна­че­ний функ­ции со­дер­жит от­ре­зок [1; 2].

Два иг­ро­ка ходят по оче­ре­ди. Перед на­ча­лом игры у них есть по­ров­ну го­ро­шин. Ход со­сто­ит в пе­ре­да­че со­пер­ни­ку лю­бо­го числа го­ро­шин. Не раз­ре­ша­ет­ся пе­ре­да­вать такое ко­ли­че­ство го­ро­шин, ко­то­рое до этого уже кто‐⁠то в этой пар­тии пе­ре­да­вал. Ноль го­ро­шин тоже пе­ре­да­вать нель­зя. Тот, кто не может сде­лать оче­ред­ной ход по пра­ви­лам, счи­та­ет­ся про­иг­рав­шим. На­чи­на­ю­щий или его со­пер­ник по­бе­дит в этой игре, как бы ни играл партнёр?

Рас­смот­ри­те слу­чаи:

а)  у каж­до­го по две го­ро­ши­ны;

б)  у каж­до­го по три го­ро­ши­ны;

в)  у каж­до­го по N го­ро­шин.