ЕГЭ–2025, математика профильная: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип Д10 C2 № 506003 Добавить в вариант

В треугольной пирамиде SABC на ребре SB взята точка M, делящая отрезок SB в отношении 3 : 5, считая от вершины S. Через точки A и M параллельно медиане BD треугольника ABC проведена плоскость. В каком отношении эта плоскость делит объем пирамиды?

Спрятать решение

Решение.

Отметим на медиане SD точку L, делящую медиану в отношении $3:5.$ Тогда $BD\parallel ML,$ поэтому L лежит в сечении. Проведем AL, пусть она пересекает SC в точке K. По теореме Менелая для треугольника CSD и прямой KLA имеем $дробь: числитель: CK, знаменатель: KS конец дроби умножить на дробь: числитель: SL, знаменатель: LD конец дроби умножить на дробь: числитель: DA, знаменатель: AC конец дроби =1,$ откуда $SK:KC=3:10,SK:SC=3:13.$

Тогда имеем $V_AKMBC:V_AKMS=S_MBCK:S_SKM= левая круглая скобка S_SBC минус S_SKM правая круглая скобка :S_SKM= дробь: числитель: SB, знаменатель: SM конец дроби умножить на дробь: числитель: SK, знаменатель: SC конец дроби минус 1= дробь: числитель: 8 умножить на 13, знаменатель: 3 умножить на 3 конец дроби минус 1= дробь: числитель: 95, знаменатель: 9 конец дроби .$

Ответ: $95:9.$

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ.	2
Решение содержит обоснованный переход к планиметрической задаче, но получен неверный ответ или решение не закончено ИЛИ при правильном ответе решение недостаточно обосновано.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0

Критерии оценивания выполнения задания

Баллы

Обоснованно получен верный ответ.

Решение содержит обоснованный переход к планиметрической задаче, но получен неверный ответ или решение не закончено

ИЛИ

при правильном ответе решение недостаточно обосновано.

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 27

Методы геометрии: Теорема Менелая

Классификатор стереометрии: Деление отрезка, Объем тела, Построения в пространстве, Сечение, параллельное или перпендикулярное прямой, Треугольная пирамида

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь