Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д10 C2 № 515128

Дана  правильная  шестиугольная  призма ABCDEFA1B1C1D1E1F1. На ребре AA1 отмечена точка M так, что А1М : АМ = 1 : 3. Через точки М и В1 параллельно АD1 проведена плоскость Ω. 

а) Докажите, что плоскость Ω проходит через вершину F1.  

б) Найдите расстояние от точки А до плоскости Ω, если  АВ = 2, АА1 = 4.

Спрятать решение

Решение.

а) Проведем прямую  MK в плоскости  AA_1D_1 параллельно  AD_1. Тогда  MK:KD_1=1:3 и, значит, K лежит на диагонали  B_1F_1. Поэтому плоскость содержит прямую  B_1F_1, а значит и точку  F_1.

б) Теперь найдём расстояние от точки А до плоскости Ω: d левая круглая скобка A,F_1B_1M правая круглая скобка =d левая круглая скобка A,MK правая круглая скобка , поскольку перпендикуляр к  MK будет лежать в плоскости  AA_1D и поэтому будет перпендикулярен  F_1B_1 как и все, что лежит в этой плоскости.

d левая круглая скобка A,MK правая круглая скобка = дробь: числитель: 2S_AMK, знаменатель: MK конец дроби = дробь: числитель: KA_1 умножить на AM, знаменатель: корень из MA_1 в квадрате плюс A_1K в квадрате конец дроби = дробь: числитель: дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби A_1D_1 умножить на 3, знаменатель: дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби корень из AA_1 в квадрате плюс A_1D_1 в квадрате конец дроби = дробь: числитель: 12, знаменатель: корень из 32 конец дроби = дробь: числитель: 3, знаменатель: корень из 2 конец дроби .

Ответ: б)  дробь: числитель: 3, знаменатель: корень из 2 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Обоснованно получен верный ответ.2
Решение содержит обоснованный переход к планиметрической задаче, но получен неверный ответ или решение не закончено

ИЛИ

при правильном ответе решение недостаточно обосновано.

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.0
Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 168.