Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип Д10 C2 № 511891
i

Через вер­ши­ну В1 куба ABCDA1B1C1D1 про­ве­де­на плос­кость Ω, пер­пен­ди­ку­ляр­ная пря­мой ВD1.

А)  До­ка­жи­те, что плос­кость Ω делит от­ре­зок ВD1 в от­но­ше­нии 2 : 1, счи­тая от вер­ши­ны D1.

Б)  Най­ди­те от­но­ше­ние объ­е­мов мно­го­гран­ни­ков, на ко­то­рые раз­би­ва­ет куб плос­кость Ω.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  За­ме­тим, что B_1A\perp BA_1, при этом BA_1  — про­ек­ция BD_1 на ABB_1A_1, сле­до­ва­тель­но, B_1A\perp BD_1. Ана­ло­гич­но B_1C\perp BD_1, по­это­му опи­сан­ная в за­да­че плос­кость  — это плос­кость AB_1C. Пусть она пе­ре­се­ка­ет диа­го­наль BD_1 в точке H. Тогда

V_BAB_1C= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби d левая круг­лая скоб­ка B,AB_1C пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на S_AB_1C= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби BH умно­жить на дробь: чис­ли­тель: AC в квад­ра­те ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби BH умно­жить на дробь: чис­ли­тель: AB в квад­ра­те ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби .

C дру­гой сто­ро­ны,

V_BAB_1C= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби d левая круг­лая скоб­ка B_1,ABC пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на S_ABC= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби B_1B умно­жить на дробь: чис­ли­тель: AB в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби .

По­это­му BH= дробь: чис­ли­тель: B_1B, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та конец дроби . По­сколь­ку BD_1=B_1B ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , имеем BH= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби BD_1, что и тре­бо­ва­лось.

б)  Упро­щая вто­рую фор­му­лу для объ­е­ма, по­лу­ча­ем V_BAB_1C= дробь: чис­ли­тель: AB в кубе , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби , по­это­му от­но­ше­ние объ­е­мов ча­стей равно 1:5.

 

Ответ: 1:5.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ.2
Ре­ше­ние со­дер­жит обос­но­ван­ный пе­ре­ход к пла­ни­мет­ри­че­ской за­да­че, но по­лу­чен не­вер­ный ответ или ре­ше­ние не за­кон­че­но

ИЛИ

при пра­виль­ном от­ве­те ре­ше­ние не­до­ста­точ­но обос­но­ва­но.

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше.0
Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 117
Классификатор стереометрии: Де­ле­ние от­рез­ка, Куб, Объем тела, Се­че­ние, па­рал­лель­ное или пер­пен­ди­ку­ляр­ное пря­мой
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025