а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Най­ди­те все корни на про­ме­жут­ке

В пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­де SABC с вер­ши­ной S про­ве­де­на вы­со­та SD. На от­рез­ке SD взята точка K так, что SK : KD  =  1 : 2. Из­вест­но, что дву­гран­ные углы между ос­но­ва­ни­ем и бо­ко­вы­ми гра­ня­ми равны 30 гра­ду­сов, а рас­сто­я­ние от точки K до бо­ко­во­го ребра равно Найти объём пи­ра­ми­ды.

Ре­ши­те си­сте­му не­ра­венств:

Про­дол­же­ние ме­ди­а­ны AE тре­уголь­ни­ка ABC пе­ре­се­ка­ет опи­сан­ную около тре­уголь­ни­ка окруж­ность в точке D.

а)  До­ка­жи­те по­до­бие тре­уголь­ни­ков ABC и AEC, если AC  =  CD.

б)  Най­ди­те длину от­рез­ка BC, если длина каж­дой из хорд AC и DC равна 1.

При каких зна­че­ни­ях па­ра­мет­ра a все числа из от­рез­ка удо­вле­тво­ря­ют не­ра­вен­ству ?

В бес­ко­неч­ной по­сле­до­ва­тель­но­сти a₁, a₂, a₃, ... число a₁ равно 1, а каж­дое сле­ду­ю­щее число a_n стро­ит­ся из преды­ду­ще­го a_n – 1 по пра­ви­лу: если у числа n наи­боль­ший нечётный де­ли­тель имеет оста­ток 1 от де­ле­ния на 4, то a_n = a_{n – 1} + 1, если же оста­ток равен 3, то a_n = a_n – 1 – 1. До­ка­жи­те, что в этой

по­сле­до­ва­тель­но­сти

а)  число 1 встре­ча­ет­ся бес­ко­неч­но много раз;

б)  каж­дое на­ту­раль­ное число встре­ча­ет­ся бес­ко­неч­но много раз.

(Вот пер­вые члены этой по­сле­до­ва­тель­но­сти: 1, 2, 1, 2, 3, 2, 1, 2, 3, 4, 3, ... .)