СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
≡ математика
сайты - меню - вход - новости


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д7 C2 № 514873

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 AB = AA1 = 6, BC = 4. Точка P — середина ребра AB, точка M лежит на ребре DD1 так, что DM : D1D = 2 : 3. 

а) Докажите, что прямая ВD1 параллельна плоскости MPC.  

б) Найдите площадь сечения параллелепипеда плоскостью MPC.

Решение.

Введем координаты с началом в точке и осями, направленными вдоль ребер Тогда нетрудно найти координаты точек

а) Составим уравнение плоскости Пусть это тогда, подставляя все три точки, находим: Возьмем Тогда и уравнение плоскости Ее вектор нормали а координаты вектора это Поэтому их скалярное произведение равно они перпендикулярны, и прямая параллельна плоскости.

б) Пусть — точка пересечения плоскости с ребром Подставляя в уравнение плоскости, получаем: Сечение — четырехугольник Его проекция на плоскость — четырехугольник площадь которого равна Косинус угла между плоскостью сечения и плоскостью основания равен:

Значит, по теореме о площади проекции фигуры.

 

Ответ: б)

 

Комментарий. Очевидно, KMCP — трапеция (прямая MC параллельна прямой KP как прямые пересечения плоскости с параллельными плоскостями), все стороны которой можно вычислить, а зная стороны трапеции можно найти ее площадь. Но поскольку вся подготовительная работа уже проделана в пункте а) — глупо было бы им не пользоваться. Найти точку стоило — без нее мы не были уверены в форме сечения.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 162.
Методы геометрии: Использование векторов, Метод координат
Классификатор стереометрии: Деление отрезка, Параллельность прямой и плоскости, Площадь сечения и площадь проекции сечения, Прямоугольный параллелепипед, Сечение -- трапеция, Сечение, проходящее через три точки