Задания
Версия для печати и копирования в MS Word

В пра­виль­ной ше­сти­уголь­ной приз­ме ABCDEFA1B1C1D1E1F1 на ребре CC1 от­ме­че­на точка М так, что СМ : С1М  =  1 : 3. Плос­кость АЕМ пе­ре­се­ка­ет ребро ВВ1 в точке К.  

А)  До­ка­жи­те, что ВК : В1К  =  1 : 5. 

Б)  Най­ди­те пло­щадь се­че­ния приз­мы плос­ко­стью АЕМ, если АВ  =  3, СС1  =  8.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Вве­дем си­сте­му ко­ор­ди­нат с на­ча­лом в точке C и с осями, на­прав­лен­ны­ми по про­дол­же­нию BC, CE и CC_1. Пусть вы­со­та приз­мы равна 4h, а ребро ос­но­ва­ния равно 2a. Тогда ко­ор­ди­на­ты не­ко­то­рых точек легко найти M левая круг­лая скоб­ка 0;0;h пра­вая круг­лая скоб­ка ; A левая круг­лая скоб­ка минус 3a; ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та a;0 пра­вая круг­лая скоб­ка ; E левая круг­лая скоб­ка 0,2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та a; 0 пра­вая круг­лая скоб­ка . Со­ста­вим урав­не­ние плос­ко­сти AEC. Пусть это Ax плюс By плюс Cz плюс D=0. Тогда Ch плюс d=0, минус 3aA плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та aB плюс D=0, 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та aB плюс D=0. Пусть D= минус 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та ah, тогда B=h, C=2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та a, а тогда A= минус дробь: чис­ли­тель: h, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та конец дроби .

Итак, урав­не­ние плос­ко­сти (после до­мно­же­ния на ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та ) вы­гля­дит так:

минус hx плюс h ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та y плюс 6az минус 6ah=0.

Най­дем точку пе­ре­се­че­ния плос­ко­сти с реб­ром BB_1. Для этого под­ста­вим y=0, x= минус 2a в наше урав­не­ние

2ah плюс 6az минус 6ah=0,

от­ку­да z= дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби h= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 6 конец дроби BB_1, что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

б)  Ясно, что се­че­ние пе­ре­се­ка­ет ребро DD_1, по­это­му про­ек­ци­ей се­че­ния будет пя­ти­уголь­ник AEDCB, пло­щадь ко­то­ро­го со­став­ля­ет дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 6 конец дроби от пло­ща­ди ос­но­ва­ния и равна по­это­му дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 6 конец дроби умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 6 умно­жить на 3 в квад­ра­те ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 45, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та . Угол между нашей плос­ко­стью и плос­ко­стью ос­но­ва­ния по­счи­та­ем по из­вест­ной фор­му­ле. У нас сей­час h=2;a= дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби , по­это­му урав­не­ние плос­ко­сти

минус 2x плюс 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та y плюс 9z минус 9=0;

 

ко­си­нус \varphi= дробь: чис­ли­тель: 9, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 4 плюс 12 плюс 81 конец ар­гу­мен­та конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 9, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 97 конец ар­гу­мен­та конец дроби .

По тео­ре­ме о пло­ща­ди фи­гу­ры и ее про­ек­ции, пло­щадь се­че­ния равна дробь: чис­ли­тель: 45 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 97 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 4 умно­жить на 9 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 5 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 291 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби .

 

Ответ: б) дробь: чис­ли­тель: 5 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 291 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ.2
Ре­ше­ние со­дер­жит обос­но­ван­ный пе­ре­ход к пла­ни­мет­ри­че­ской за­да­че, но по­лу­чен не­вер­ный ответ или ре­ше­ние не за­кон­че­но

ИЛИ

при пра­виль­ном от­ве­те ре­ше­ние не­до­ста­точ­но обос­но­ва­но.

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше.0
Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 171
Методы геометрии: Ис­поль­зо­ва­ние век­то­ров, Метод ко­ор­ди­нат
Классификатор стереометрии: Де­ле­ние от­рез­ка, Пло­щадь се­че­ния и пло­щадь про­ек­ции се­че­ния, Пра­виль­ная ше­сти­уголь­ная приз­ма, Се­че­ние, про­хо­дя­щее через три точки
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025