Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д7 C2 № 505671

Дана пирамида SABC, точки D и E лежат соответственно на ребрах SA и SB, причем SD : DA = 1 : 2 и SE : EB = 1 : 2. Через точки D и E проведена плоскость, параллельная ребру SC. В каком отношении эта плоскость делит объем пирамиды?

Решение.

Построим сначала сечение пирамиды этой плоскостью. Для этого проведем в гранях SAC и SBC прямые, параллельные SC и проходящие через точки D и E. Пусть они пересекают AC и BC в точках G и F соответственно. Тогда DEFG — искомое сечение. Из параллельности, кроме того, следует, что CG:GA=CF:FB=1:2. Найдем теперь объем одной из частей, выразив его через объем всей пирамиды:

V_{DAGFB}= дробь, числитель — 1, знаменатель — 3 умножить на d(D,ABFG) умножить на S_{ABGF}= дробь, числитель — 1, знаменатель — 3 умножить на дробь, числитель — 2, знаменатель — 3 d(S,ABC) умножить на (S_{ABC} минус S_{CFG})=

 

= дробь, числитель — 2, знаменатель — 9 d(S,ABC) умножить на дробь, числитель — 8, знаменатель — 9 S_{ABC}= дробь, числитель — 16, знаменатель — 27 умножить на дробь, числитель — 1, знаменатель — 3 d(S,ABC) умножить на S_{ABC}= дробь, числитель — 16, знаменатель — 27 V_{SABC}.

 

V_{DBEF}= дробь, числитель — 1, знаменатель — 3 умножить на d(D,EBF) умножить на S_{EBF}= дробь, числитель — 1, знаменатель — 3 умножить на дробь, числитель — 1, знаменатель — 3 d(A,SBC) умножить на дробь, числитель — 4, знаменатель — 9 S_{SBC}=

 

= дробь, числитель — 4, знаменатель — 27 умножить на дробь, числитель — 1, знаменатель — 3 d(A,SBC) умножить на S_{SBC}= дробь, числитель — 4, знаменатель — 27 V_{SABC}.

 

V_{AGFBDE}=V_{DAGFB} плюс V_{DEBF}= дробь, числитель — 20, знаменатель — 27 V_{SABC}.

Поэтому отношение объемов равно 7 : 20.

 

Ответ: 7 : 20.

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 53.
Классификатор стереометрии: Деление отрезка, Объем как сумма объемов частей, Объем тела, Сечение, параллельное или перпендикулярное прямой, Треугольная пирамида